La soustraction est l'une des opérations de base de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour produire un seul nombre, appelé la différence.
Quand on compte, soustraire signifie diminuer.
Soustraire b de a (autrement dit, calculer a − b) c'est produire le nombre qui compléterait b pour obtenir a, c'est-à-dire le nombre d tel que b + d est a.
Le signe de la soustraction est le symbole « − », qui se lit « moins ». Par exemple, on lit 3 − 2 = 1 comme « trois moins deux égale un ».
possède un élément neutre uniquement à droite : pour tout x, x - 0 = x, mais en général 0 - x ≠ x
Tous les éléments du groupe sont involutifs : pour tout x, x - x = 0 .
Le défaut de cette définition est d'utiliser le même signe, à savoir −,
pour l'opposé de et
pour l'opération binaire
Cas particulier des nombres
Ici on se place dans (ℤ, +), groupe des nombres entiers relatifs.
Formellement, la soustraction est une loi de composition interne sur un ensemble, notée − à condition toutefois que la soustraction soit toujours définie (ce qui n'est, par exemple, pas le cas dans l'ensemble ℕ des entiers naturels).
Cependant
elle n'est pas commutative. En effet a − b et b − a sont en général différents
elle n'est pas associative. En effet (a − b) − c et a − (b − c) sont en général différents
elle ne possède pas d'élément neutre. En effet, le seul élément neutre possible serait 0 et l'on a
a − 0 = a, mais en général
0 − a est différent de a.
C'est la raison pour laquelle on[Qui ?] préfère considérer une soustraction comme l'ajout (somme) de l'opposé, à condition évidemment que cet opposé existe (ce n'est pas le cas dans ℕ+).
L'opposé de a est le nombre noté (−a) qui, ajouté à a, donne 0 : a + (−a) = 0
![{\displaystyle [,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04349be7aa458edb6f1ab423189a8455c6e21f7)
