En topologie algébrique (une branche des mathématiques ), le cup-produit est une opération binaire définie sur les groupes de cohomologie qui permet d'assembler des cocycles.
Cette opération est graduée , associative et distributive , ce qui permet de définir l'anneau de cohomologie . Introduite à l'origine en cohomologie singulière , des constructions
analogues existent pour différentes théories cohomologiques. Le cup-produit se généralise sous la forme du produit de Massey (en)
Il n'existe pas de cup-produit en homologie , mais on peut définir un cap-produit ou invoquer la dualité de Poincaré si la dimension de l'espace convient.
On donne ici la définition pour la cohomologie singulière d'un espace topologique X , à coefficients dans un anneau commutatif .
Le cup-produit est une opération
⌣ ⌣ -->
: : -->
H
p
(
X
)
× × -->
H
q
(
X
)
→ → -->
H
p
+
q
(
X
)
{\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}
correspondant à la composition :
C
∙ ∙ -->
(
X
)
× × -->
C
∙ ∙ -->
(
X
)
⟶ ⟶ -->
K
∗ ∗ -->
C
∙ ∙ -->
(
X
× × -->
X
)
⟶ ⟶ -->
Δ Δ -->
∗ ∗ -->
C
∙ ∙ -->
(
X
)
{\displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X){\overset {K^{*}}{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)}
complexes de chaînes de X et X × X , avec K l'application de Künneth et la diagonale Δ : X → X × X .
Le cup-produit d'une p -cochaîne c et d'une q -cochaîne d , appliqué à un (p + q )-simplexe singulier σ , est donné par :
(
c
⌣ ⌣ -->
d
)
(
σ σ -->
)
=
c
(
σ σ -->
∘ ∘ -->
ι ι -->
0
,
1
,
… … -->
,
p
)
⋅ ⋅ -->
d
(
σ σ -->
∘ ∘ -->
ι ι -->
p
,
p
+
1
,
… … -->
,
p
+
q
)
{\displaystyle (c\smile d)(\sigma )=c(\sigma \circ \iota _{0,1,\dots ,p})\cdot d(\sigma \circ \iota _{p,p+1,\dots ,p+q})}
où ι S S de {0, 1, … , p + q }, le plongement canonique du simplexe engendré par S dans le (p + q )-simplexe standard.
Pour voir que ce cup-produit de cochaînes définit un cup-produit des classes de cohomologie, il suffit de montrer que les applications de cobord vérifient :
δ δ -->
(
c
⌣ ⌣ -->
d
)
=
δ δ -->
c
⌣ ⌣ -->
d
+
(
− − -->
1
)
p
(
c
⌣ ⌣ -->
δ δ -->
d
)
,
{\displaystyle \delta (c\smile d)=\delta {c}\smile d+(-1)^{p}(c\smile \delta {d}),}
En cohomologie de De Rham , le cup-produit de formes différentielles est induit par le produit extérieur . En effet, la règle de Leibniz s'écrit
d
(
ω ω -->
∧ ∧ -->
η η -->
)
=
d
ω ω -->
∧ ∧ -->
η η -->
+
(
− − -->
1
)
p
ω ω -->
∧ ∧ -->
d
η η -->
{\displaystyle \mathrm {d} (\omega \wedge \eta )=\mathrm {d} \omega \wedge \eta +(-1)^{p}\omega \wedge \mathrm {d} \eta }
[
ω ω -->
]
⌣ ⌣ -->
[
η η -->
]
=
[
ω ω -->
∧ ∧ -->
η η -->
]
.
{\displaystyle [\omega ]\smile [\eta ]=[\omega \wedge \eta ].}
Le cup-produit vérifie l'identité suivante, qui fait de l'anneau de cohomologie un anneau gradué commutatif :
α α -->
p
⌣ ⌣ -->
β β -->
q
=
(
− − -->
1
)
p
q
(
β β -->
q
⌣ ⌣ -->
α α -->
p
)
{\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}
bilinéaire :
(
u
1
+
u
2
)
⌣ ⌣ -->
v
=
u
1
⌣ ⌣ -->
v
+
u
2
⌣ ⌣ -->
v
et
u
⌣ ⌣ -->
(
v
1
+
v
2
)
=
u
⌣ ⌣ -->
v
1
+
u
⌣ ⌣ -->
v
2
{\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v{\text{ et }}u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}}
α α -->
⌣ ⌣ -->
(
β β -->
⌣ ⌣ -->
γ γ -->
)
=
(
α α -->
⌣ ⌣ -->
β β -->
)
⌣ ⌣ -->
γ γ -->
.
{\displaystyle \alpha \smile (\beta \smile \gamma )=(\alpha \smile \beta )\smile \gamma .}
Il s'agit d'une opération naturellement fonctorielle , en ce que pour toute application continue f ,
f
∗ ∗ -->
(
α α -->
⌣ ⌣ -->
β β -->
)
=
f
∗ ∗ -->
α α -->
⌣ ⌣ -->
f
∗ ∗ -->
β β -->
.
{\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}\alpha \smile f^{*}\beta .}
Si X 1 et X 2 sont deux espaces topologiques, et
p
i
:
X
1
× × -->
X
2
→ → -->
X
i
{\displaystyle p_{i}:X_{1}\times X_{2}\to X_{i}}
× × -->
:
H
k
(
X
1
)
× × -->
H
ℓ ℓ -->
(
X
2
)
→ → -->
H
k
+
ℓ ℓ -->
(
X
1
× × -->
X
2
)
a
× × -->
b
↦ ↦ -->
p
1
∗ ∗ -->
(
a
)
⌣ ⌣ -->
p
2
∗ ∗ -->
(
b
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\times ~:~&H^{k}(X_{1})\times H^{\ell }(X_{2})\to H^{k+\ell }(X_{1}\times X_{2})\\&a\times b\mapsto p_{1}^{*}(a)\smile p_{2}^{*}(b).\end{aligned}}}
En théorie des nœuds , le nombre d'enlacement correspond à un cup-produit non nul dans le complément d'un nœud . D'une manière générale, les produits de Massey — opérations cohomologiques (en) arités supérieures — sont en lien avec les invariants de Milnor (en)
(en) Allen Hatcher , Algebraic Topology , New York, CUP , 2001 , 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1 lire en ligne )
![{\displaystyle [\omega ]\smile [\eta ]=[\omega \wedge \eta ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88fc4ead6242079276bcaca4e6549bb0a7d3a24c)
