Répunit

Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un entier naturel dont l'écriture, dans une certaine base entière, ne comporte que des chiffres 1. C'est donc un cas particulier de nombre uniforme.

Ce terme est la francisation de l'anglais repunit, contraction de l'expression repeated unit (unité répétée), proposée en 1966 par Albert H. Beiler^[1].

En français ont été proposées les appellations « nombre polymonadique^[2] », « multi-as^[3] », ou « répun^[4] » mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.

Définition

Les répunits en base dix sont définis par :

${\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}\qquad {\mbox{pour }}n\geq 1.}$

Plus généralement, ils sont donnés en base b, par :

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={\frac {b^{n}-1}{b-1}}=\sum _{k=0}^{n-1}b^{k}\qquad {\mbox{pour }}n\geq 1.}$

Ainsi, le nombre R^(b)
_n s'écrit comme la juxtaposition de n chiffres 1.

Histoire

Bien que n'étant pas encore connus sous ce nom, les répunits en base dix ont été étudiés par de nombreux mathématiciens au cours du XIX^e siècle, dans un effort pour élaborer et prédire les tendances cycliques du développement décimal périodique^[5].

Il a été trouvé très tôt que, pour tout nombre premier p supérieur à 5, la période du développement décimal de 1/p est égale à la longueur du plus petit répunit divisible par p. Les tableaux de la période de réciprocité des nombres premiers jusqu'à 60 000 ont été publiés en 1860, et ont permis la factorisation, par des mathématiciens comme Reuschle, de tous les répunits jusqu'à R₁₆ et plus. En 1880, même R₁₇ à R₃₆ ont été factorisés^[5] et il est curieux de constater que, bien que Édouard Lucas ait montré qu'aucun nombre premier en dessous de trois millions n'avait une période égale à dix-neuf, il n'y a eu aucune tentative en vue de tester ceci jusqu'au début du XX^e siècle. Le mathématicien américain Oscar Hoppe a prouvé en 1916 que R₁₉ est premier^[6] et Lehmer et Kraïtchik ont indépendamment prouvé la primalité de R₂₃ en 1929. Des avancées dans l'étude des répunits n'ont pas eu lieu jusque dans les années 1960, quand les ordinateurs ont permis à de nombreux nouveaux facteurs de répunits d'être trouvés. Le projet Cunningham a documenté entre autres les factorisations des répunits de base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.

Exemples

Les premiers termes de la suite des répunits sont :

1, 11, 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111 (suite A002275 de l'OEIS).

Les répunits en base 2 (répunits binaires) sont les nombres de Mersenne M_n = 2ⁿ – 1.

Propriétés

• Les répunits en base dix sont des nombres uniformes.
• Les répunits en base b forment une suite de Lucas de paramètres premiers entre eux : R^(b)
  _n = U_n(b + 1, b).
• Par conséquent^[7], leur PGCD suit la règle de divisibilité forte : ${\displaystyle {\rm {pgcd}}(R_{m}^{(b)},R_{n}^{(b)})=R_{{\rm {pgcd}}(m,n)}^{(b)}}$.En particulier, R^(b)
  _n est divisible par R^(b)
  _m si et seulement si n est divisible par m.

Décomposition des répunits décimaux

Les facteurs premiers colorés en rouge sont des "nouveaux facteurs", divisant ${\displaystyle R_{n}}$ mais ne divisant pas ${\displaystyle R_{k}}$ pour tout ${\displaystyle k<n}$ ; suite A102380 de l'OEIS^[8].

R1 = 1 R2 = 11 R3 = 3 · 37 R4 = 11 · 101 R5 = 41 · 271 R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 R7 = 239 · 4649 R8 = 11 · 73 · 101 · 137 R9 = 3^2 · 37 · 333667 R10 = 11 · 41 · 271 · 9091

R11 = 21649 · 513239 R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 R13 = 53 · 79 · 265371653 R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 R17 = 2071723 · 5363222357 R18 = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 R19 = 1111111111111111111 R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 R22 = 11^2 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 R23 = 11111111111111111111111 R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 R27 = 3^3 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Répunits premiers

Historiquement, c'est dans le cadre des mathématiques récréatives qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les factoriser. Le projet Cunningham se propose de répertorier les factorisations des répunits en base 2^[9], 3, 5, 6, 7, 10^[10],[11], 11 et 12.

D'après la dernière propriété ci-dessus, R^(b)
_n n'est premier que si n est premier. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce contre-exemple en base dix :

3 est premier mais R₃ = 111 = 3 × 37 est composé^[12].

Cependant, R⁽²⁾
₃ = 7 est premier. R^(b)
₃ est également premier pour b égal par exemple (écrit en base dix) à 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111,… . C'est la suite suite A002384 de l'OEIS ; l'écriture en base dix de R⁽¹¹¹⁾
₃ est 12 433.

Les répunits premiers sont assez rares (la probabilité qu'un nombre soit premier est a priori égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres ; voir théorème des nombres premiers). On conjecture cependant qu'il en existe une infinité^[13].

Ce qu'il faut noter, par rapport au petit théorème de Fermat, lorsque p est premier : p divise R^(b)
_p – 1 donc b^{R(b)
_p – 1} – 1 est divisible par R^(b)
_p. ${\displaystyle b^{R_{p}^{(b)}}\equiv b{\pmod {R_{p}^{(b)}}}}$ lorsque p est premier.

En base dix, on sait que R_n est premier pour onze valeurs de n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (suite A004023 de l'OEIS). Les six plus grands répunits en base dix premiers connus en 2022 sont R_{49 081}, R_{86 453}, R_{109 297}, R_{270 343}, R_{5 794 777} et R_{8 177 207} ; ce sont des nombres premiers probables^[13],[14].

La liste des nombres premiers qui sont des repunits dans au moins une base (incluant donc les nombres de Mersenne premiers) est répertoriée comme suite A085104 de l'OEIS.

Tout répunit premier est trivialement premier permutable, c'est-à-dire qu'il reste premier après toute permutation de ses chiffres dans la base considérée, puisque ceux-ci sont identiques. En base dix, après 991, les seuls premiers permutables connus sont des repunits mais ce fait n'est pas démontré dans sa généralité^[13].

Si n et b sont premiers entre eux, au moins l'un des répunits R^(b)
₁, … , R^(b)
_n est un multiple de n.

Démonstration

Raisonnons par l'absurde en supposant qu'aucun de ces n nombres n'est divisible par n. Alors (d'après le principe des tiroirs et puisqu'il n'y a que n – 1 classes de congruence mod n non nulles) deux d'entre eux sont dans la même classe, c'est-à-dire qu'il existe des entiers i et j, avec 1 ≤ i < j ≤ n, tels que n divise R^(b)
_j – R^(b)
_i = R^(b)
_{j – i} × bⁱ donc (d'après le lemme de Gauss) n divise R^(b)
_{j – i}, ce qui contredit l'hypothèse initiale.

Honneur

L'astéroïde (11111) Repunit porte le nom de ces nombres^[15].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Repunit » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers : The Queen of Mathematics Entertains, Dover Publications, 1966 (1^re éd. 1964), 349 p. (ISBN 978-0-486-21096-4, lire en ligne), chap. 11.
2. « Corrigé d'une épreuve du concours ISE de 2006 ».
3. J. Moreau de Saint-Martin (multi-as proposé à la suite de M. D. Indjoudjian, dans la revue La Jaune et la Rouge), « À la recherche des multi-as carrés », Quadrature, n^o 26,‎ octobre 1996, p. 25-27.
4. Richard Choulet, « Quelques remarques sur les répuns », Bulletin de l'APMEP, n^o 464,‎ mai 2006, p. 407-412 (lire en ligne).
5. (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. 1, 1999, p. 164-167.
6. (en) Richard L. Francis, « Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers », The College Mathematics Journal (en), vol. 19, n^o 3,‎ 1988, p. 240-246.
7. Mais pour un raisonnement direct, voir par exemple le devoir sur Wikiversité (lien en bas de page).
8. Pour plus d'informations, voir (en) « Factorization of 11...11 (Repunit) », sur Studio Kamada 日本語に.
9. (en) « Factorizations of 2^n-1, n odd, n<1200 », sur cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun.
10. (en) Yousuke Koide, « Factorizations of Repunit Numbers », 2015.
11. (en) « Repunits and their prime factors », sur worldofnumbers.com.
12. Explications complémentaires dans (en) Repunit sur The Prime Pages par Chris Caldwell.
13. Jean-Paul Delahaye, « Des nombres premiers robustes ou délicats », Pour la Science, n^o 526,‎ août 2021, p. 80-85 (lire en ligne).
14. (en) « Repunit », sur primes.utm.edu/top20.
15. (11111) Repunit = 1997 EC35 = 1995 WL, Centre des planètes mineures, consulté le 22 août 2024.

Voir aussi

Articles connexes

• Conjecture de Feit-Thompson
• Reimerp
• Nombre de Demlo

Bibliographie

• (en) Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, 541 p. (ISBN 978-0-387-94457-9).
• Michel Demazure, Cours d'algèbre. Primalité Divisibilité. Codes, Cassini, 2008 [détail de l’édition]

Ce livre contient de nombreux algorithmes écrits en Ruby, en particulier des tests de primalité pour les répunits

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Repunit », sur MathWorld
• Les nombres brésiliens, s'écrivant avec des chiffres tous égaux, dans Quadrature 76