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Il s'agit de la restriction du problème SAT aux formules qui sont des formes normales conjonctives avec au plus 3 littéraux (ou exactement 3 selon les sources[2]). Voici un exemple d'une telle forme normale conjonctive :
La formule ci-dessus a 4 clauses, 5 variables et trois littéraux par clauses. Il s'agit de déterminer si l'on peut attribuer une valeur Vrai ou Faux à chaque variable de façon à rendre toute la formule vraie.
NP-difficulté
En 1972, Richard M. Karp réduit SAT à 3-SAT afin de démontrer que 3-SAT est NP-difficile[1]. Cette démonstration est présente dans beaucoup d'ouvrages d'algorithmique et de théorie de la complexité.
Utilisation pour les preuves de NP-complétude
Comme 3-SAT est NP-difficile, 3-SAT a été utilisé pour prouver que d'autres problèmes sont NP-difficiles. Richard M. Karp, dans le même article, montre que le problème de coloration de graphes est NP-difficile en le réduisant à 3-SAT en temps polynomial[1].
Variantes
Jan Kratochvil introduit en 1994 une restriction 3-SAT dite planaire qui est aussi NP-difficile[3]. Il s'agit de la restriction de 3-SAT où le graphe biparti composé des variables et des clauses, où on relie une variable à une clause si cette clause contient cette variable, est planaire. D'ailleurs, le problème est toujours NP-difficile si chaque clause contient 3 littéraux et chaque variable apparaît dans au plus 4 clauses[3].
not-all-equal 3-satisfiability (NAE3SAT) est la variante où on demande que les trois variables dans une clause n'aient pas toutes les trois la même valeur de vérité.
