Polynôme de Touchard

5ème polynôme de Touchard

Les polynômes de Touchard, étudié par Jacques Touchard^[1], aussi appelés polynômes exponentiels^[2],[3],[4] ou polynômes de Bell^[5], constituent une suite de polynômes de type polynomial^[6] définie par

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}}$,

où ${\displaystyle S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}}$est le nombre de Stirling de seconde espèce qui compte le nombre de partitions d'un ensemble de ${\displaystyle n}$ éléments en ${\displaystyle k}$ sous-ensembles non vides disjoints.

Propriétés

• La valeur en 1 du ${\displaystyle n}$-ième polynôme de Touchard est le ${\displaystyle n}$-ième nombre de Bell, c'est-à-dire le nombre de partitions d'un ensemble de taille ${\displaystyle n}$ :

  ${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}}$.

• Les polynômes de Touchard vérifient

  ${\displaystyle T_{n}(x)=\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}}$.

• La suite de polynômes est de type binomial, et satisfait les identités

  ${\displaystyle T_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)T_{n-k}(y)}$.

• Les polynômes de Touchard sont la seule suite polynomiale de type binomial dont le coefficient du terme de degré 1 est égal à 1 dans chaque polynôme.

• Les polynômes de Touchard vérifient une formule de Rodrigues :

  ${\displaystyle T_{n}\left(\mathrm {e} ^{x}\right)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{x}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\;\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{x}}.}$

• Les polynômes de Touchard vérifient les relations de récurrence :

  ${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)T_{n}(x)}$ et ${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)}$.

Pour ${\displaystyle x=1}$, elle se réduit à la formule de récurrence pour les nombres de Bell.

• Avec la notation ${\displaystyle T^{n}(x)=T_{n}(x)}$ empruntée au calcul ombral, ces formules deviennent :

  ${\displaystyle T_{n}(x+y)=\left(T(x)+T(y)\right)^{n},}$ et ${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}$

• La série génératrice des polynômes de Touchard est :

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=\mathrm {e} ^{x\left(\mathrm {e} ^{t}-1\right)}}$,

ce qui correspond à la série génératrice des nombres de Stirling de seconde espèce.

• Les polynômes de Touchard admettent une représentation par intégrale de contour :

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\mathrm {i} \pi }}\oint {\frac {\mathrm {e} ^{x({\mathrm {e} ^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,\mathrm {d} t}$.

Zéros

Les zéros des polynômes de Touchard sont réels négatifs^[7]. Le plus petit zéro est minoré, en valeur absolue, par^[8] :

${\displaystyle {\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},}$

et il est conjecturé que le plus petit zéro croît linéairement avec l'index n.

On peut encadrer la mesure de Mahler ${\displaystyle M(T_{n})}$ des polynômes de Touchard comme suit^[9] :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle {\left\{{n \atop \Omega _{n}}\right\}}}{\displaystyle {\binom {n}{\Omega _{n}}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\}}$

où ${\displaystyle \Omega _{n}}$ et ${\displaystyle K_{n}}$ sont les plus petits indices k qui maximisent respectivement ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}}$ et ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$.

Généralisations

• Les polynômes de Bell complets ${\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ peuvent être vus comme une généralisation multivariée des polynômes de Touchard ${\displaystyle T_{n}(x)}$, puisque

  ${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x)}$.

• Les polynômes de Touchard (et par conséquent aussi les nombres de Bell) peuvent être généralisés à des indices fractionnaires en utilisant la partie réelle de l’intégrale donnée plus haut :

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{x{\bigl (}\mathrm {e} ^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,}$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Touchard polynomials » (voir la liste des auteurs).

1. Jacques Touchard, « Sur les cycles des substitutions », Acta Mathematica, vol. 70, n^o 1,‎ 1939, p. 243–297 (ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02547349, MR 1555449).
2. Steven Roman, The Umbral Calculus, Dover, 1984, 193 p. (ISBN 0-486-44139-3).
3. Khristo N. Boyadzhiev, « Exponential polynomials, Stirling numbers, and evaluation of some gamma integrals », Abstract and Applied Analysis, vol. 2009,‎ 2009, p. 1–18 (DOI 10.1155/2009/168672, Bibcode 2009AbApA2009....1B, arXiv 0909.0979).
4. Bruce C. Brendt, « Ramanujan reaches his hand from his grave to snatch your theorems from you », Asia Pacific Mathematics Newsletter, vol. 1, n^o 2,‎ 2011, p. 8-13 (lire en ligne, consulté le 16 juillet 2018).
5. (en) Eric W. Weisstein, « Bell Polynomial », sur MathWorld.
6. Une suite de polynômes indexés par { 0, 1, 2, 3, ... }, où l'index de chaque polynôme est égal à son degré, est de type polynomial si elle vérifie les identités

   ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y)}$.

7. Lawrence H. Harper, « Stirling behavior is asymptotically normal », The Annals of Mathematical Statistics, vol. 38, n^o 2,‎ 1967, p. 410–414 (DOI 10.1214/aoms/1177698956)
8. István Mező et Roberto B. Corcino, « The estimation of the zeros of the Bell and r-Bell polynomials », Applied Mathematics and Computation, vol. 250,‎ 2015, p. 727–732 (DOI 10.1016/j.amc.2014.10.058).
9. István Mező, « On the Mahler measure of the Bell polynomials » (consulté le 7 novembre 2017).

Articles liés

• Polynôme de Bell
• mesure de Mahler
• Formule de Rodrigues