Polynôme de Fibonacci
En mathématiques les polynômes de Fibonacci , nommés ainsi en l'honneur du mathématicien italien Leonardo Fibonacci , sont une suite de polynômes
F
n
(
x
)
{\displaystyle F_{n}(x)}
généralisant les nombres de Fibonacci , définis d'une manière telle que
F
n
(
1
)
{\displaystyle F_{n}(1)}
soit égal au n -ième terme de la suite de Fibonacci. Les polynômes de Lucas généralisent de même les nombres de Lucas .
Définition
Les polynômes de Fibonacci sont définis par une relation de récurrence linéaire [ 1] :
F
n
(
x
)
=
{
0
,
si
n
=
0
;
1
,
si
n
=
1
;
x
F
n
− − -->
1
(
x
)
+
F
n
− − -->
2
(
x
)
,
si
n
≥ ≥ -->
2.
{\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}n=0\;;\\1,&{\mbox{si }}n=1\;;\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2.\end{cases}}}
Le polynôme
F
n
{\displaystyle F_{n}}
est de degré n -1.
Les premiers polynômes de Fibonacci sont :
F
0
(
x
)
=
0
{\displaystyle F_{0}(x)=0\,}
;
F
1
(
x
)
=
1
{\displaystyle F_{1}(x)=1\,}
;
F
2
(
x
)
=
x
{\displaystyle F_{2}(x)=x\,}
;
F
3
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}
;
F
4
(
x
)
=
x
3
+
2
x
{\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}
;
F
5
(
x
)
=
x
4
+
3
x
2
+
1
{\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}
;
F
6
(
x
)
=
x
5
+
4
x
3
+
3
x
{\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x}
.
Les polynômes de Lucas sont définis par la même récurrence, mais avec des valeurs initiales différentes :
L
n
(
x
)
=
{
2
,
si
n
=
0
x
,
si
n
=
1
x
L
n
− − -->
1
(
x
)
+
L
n
− − -->
2
(
x
)
,
si
n
≥ ≥ -->
2.
{\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{si }}n=0\\x,&{\mbox{si }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2.\end{cases}}}
;
L
n
{\displaystyle L_{n}}
est un polynôme de degré n .
Les premiers polynômes de Lucas sont :
L
0
(
x
)
=
2
{\displaystyle L_{0}(x)=2\,}
L
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle L_{1}(x)=x\,}
;
L
2
(
x
)
=
x
2
+
2
{\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}
;
L
3
(
x
)
=
x
3
+
3
x
{\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}
;
L
4
(
x
)
=
x
4
+
4
x
2
+
2
{\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}
;
L
5
(
x
)
=
x
5
+
5
x
3
+
5
x
{\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}
;
L
6
(
x
)
=
x
6
+
6
x
4
+
9
x
2
+
2
{\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2}
.
Les nombres de Fibonacci sont alors calculés en évaluant la valeur du polynôme F n lorsque x = 1 ; les nombres de Pell sont déterminés en évaluant F n lorsque x = 2. Enfin, les nombres de Lucas sont obtenus en évaluant L n en 1.
Ces suites de polynômes sont des suites de Lucas associées : on a
F
n
(
x
)
=
U
n
(
x
,
− − -->
1
)
,
{\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,}
L
n
(
x
)
=
V
n
(
x
,
− − -->
1
)
.
{\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}
Séries génératrices
La série génératrice pour les polynômes de Fibonacci est [ 2] :
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
F
n
(
x
)
t
n
=
t
1
− − -->
x
t
− − -->
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.}
De même, la série génératrice des polynômes de Lucas est :
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
L
n
(
x
)
t
n
=
2
− − -->
x
t
1
− − -->
x
t
− − -->
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}
Relations remarquables
En tant que cas particuliers de suites de Lucas , ces polynômes vérifient de nombreuses identités.
Ils peuvent être définis pour des indices négatifs par[ 3]
F
− − -->
n
(
x
)
=
(
− − -->
1
)
n
− − -->
1
F
n
(
x
)
,
L
− − -->
n
(
x
)
=
(
− − -->
1
)
n
L
n
(
x
)
.
{\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),\,L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).}
On a également[ 3] :
F
m
+
n
(
x
)
=
F
m
+
1
(
x
)
F
n
(
x
)
+
F
m
(
x
)
F
n
− − -->
1
(
x
)
{\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}
L
m
+
n
(
x
)
=
L
m
(
x
)
L
n
(
x
)
− − -->
(
− − -->
1
)
n
L
m
− − -->
n
(
x
)
{\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,}
F
n
+
1
(
x
)
F
n
− − -->
1
(
x
)
− − -->
F
n
(
x
)
2
=
(
− − -->
1
)
n
{\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}
F
2
n
(
x
)
=
F
n
(
x
)
L
n
(
x
)
.
{\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,}
Des expressions analogues à la formule de Binet existent[ 3] :
F
n
(
x
)
=
α α -->
(
x
)
n
− − -->
β β -->
(
x
)
n
α α -->
(
x
)
− − -->
β β -->
(
x
)
,
L
n
(
x
)
=
α α -->
(
x
)
n
+
β β -->
(
x
)
n
,
{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},}
où
α α -->
(
x
)
=
x
+
x
2
+
4
2
,
β β -->
(
x
)
=
x
− − -->
x
2
+
4
2
{\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}
sont les solutions (en t ) de
t
2
− − -->
x
t
− − -->
1
=
0.
{\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}
Les puissances de x s'expriment comme combinaison des polynômes de Fibonacci par[ 4]
x
n
=
F
n
+
1
(
x
)
+
∑ ∑ -->
k
=
1
⌊ ⌊ -->
n
/
2
⌋ ⌋ -->
(
− − -->
1
)
k
[
(
n
k
)
− − -->
(
n
k
− − -->
1
)
]
F
n
+
1
− − -->
2
k
(
x
)
.
{\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).}
Par exemple,
x
4
=
F
5
(
x
)
− − -->
3
F
3
(
x
)
+
2
F
1
(
x
)
{\displaystyle x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,}
;
x
5
=
F
6
(
x
)
− − -->
4
F
4
(
x
)
+
4
F
2
(
x
)
{\displaystyle x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+4F_{2}(x)\,}
;
x
6
=
F
7
(
x
)
− − -->
5
F
5
(
x
)
+
9
F
3
(
x
)
− − -->
5
F
1
(
x
)
{\displaystyle x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,}
;
x
7
=
F
8
(
x
)
− − -->
6
F
6
(
x
)
+
14
F
4
(
x
)
− − -->
14
F
2
(
x
)
{\displaystyle x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)}
.
Racines et factorisation des polynômes de Fibonacci
Posant
x
=
2
i
cosh
-->
z
=
i
(
e
z
+
e
− − -->
z
)
{\displaystyle x=2\mathrm {i} \cosh z=\mathrm {i} \left(\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}\right)}
, on vérifie qu'avec les notations précédentes,
α α -->
(
x
)
=
(
x
+
x
2
+
4
)
/
2
=
i
e
z
{\displaystyle \alpha \left(x\right)=\left(x+{\sqrt {x^{2}+4}}\right)/2=\mathrm {i} \,\mathrm {e} ^{z}}
,
β β -->
(
x
)
=
(
x
− − -->
x
2
+
4
)
/
2
=
i
e
− − -->
z
{\displaystyle \beta \left(x\right)=\left(x-{\sqrt {x^{2}+4}}\right)/2=\mathrm {i} \,\mathrm {e} ^{-z}}
, et donc que
F
n
(
x
)
=
i
n
− − -->
1
e
n
z
− − -->
e
− − -->
n
z
e
z
− − -->
e
− − -->
z
{\displaystyle F_{n}\left(x\right)=\mathrm {i} ^{n-1}{\frac {\mathrm {e} ^{nz}-\mathrm {e} ^{-nz}}{\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}}}
, qui ne s'annule que pour
z
=
i
k
π π -->
/
n
{\displaystyle z=\mathrm {i} \,k\pi /n}
; ainsi les racines de
F
n
{\displaystyle F_{n}}
sont les imaginaires purs
2
i
cos
-->
(
k
π π -->
/
n
)
{\displaystyle 2\mathrm {i} \cos {(k\pi /n)}}
[ 5] . On en déduit la factorisation des
F
n
(
x
)
{\displaystyle F_{n}\left(x\right)}
:
F
2
n
(
x
)
=
x
∏ ∏ -->
1
≤ ≤ -->
k
≤ ≤ -->
n
− − -->
1
x
2
+
4
cos
2
-->
(
k
π π -->
n
)
{\displaystyle F_{2n}\left(x\right)=x\prod _{1\leq k\leq n-1}x^{2}+4\cos ^{2}\left({\frac {k\pi }{n}}\right)}
et
F
2
n
+
1
(
x
)
=
∏ ∏ -->
1
≤ ≤ -->
k
≤ ≤ -->
n
x
2
+
4
cos
2
-->
(
2
k
π π -->
2
n
+
1
)
{\displaystyle F_{2n+1}\left(x\right)=\prod _{1\leq k\leq n}x^{2}+4\cos ^{2}\left({\frac {2k\pi }{2n+1}}\right)}
,
puis, prenant
x
=
1
{\displaystyle x=1}
, une expression trigonométrique des nombres de Fibonacci[ 6] :
F
n
=
∏ ∏ -->
1
≤ ≤ -->
k
≤ ≤ -->
(
n
− − -->
1
)
/
2
1
+
4
cos
2
-->
(
k
π π -->
n
)
=
∏ ∏ -->
1
≤ ≤ -->
k
≤ ≤ -->
(
n
− − -->
1
)
/
2
3
+
2
cos
-->
(
2
k
π π -->
n
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\prod _{1\leq k\leq (n-1)/2}1+4\cos ^{2}\left({\frac {k\pi }{n}}\right)=\prod _{1\leq k\leq (n-1)/2}3+2\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)}
;
des formules analogues peuvent être obtenues pour les polynômes de Lucas[ 5] .
Interprétation combinatoire
Les coefficients des polynômes de Fibonacci se lisent sur les « diagonales » du triangle de Pascal (montrées en rouge). Les sommes des coefficients forment la suite de Fibonacci .
Si F (n ,k ) est le coefficient de xk dans Fn (x ), c'est-à-dire que
F
n
(
x
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
F
(
n
,
k
)
x
k
,
{\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,}
alors F (n ,k ) est le nombre de façons dont on peut paver une bande de n −1 carrés avec des dominos (des rectangles
2
× × -->
1
{\displaystyle 2\times 1}
) et exactement k carrés unité[ 1] . De façon équivalente, F (n ,k ) est le nombre de façons d'écrire n −1 comme une somme ordonnée de 1 et de 2, avec exactement k apparitions de 1. Par exemple, F(6,3)=4 et 5 peut s'écrire de 4 façons, 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1, comme somme de 1 et de 2 avec exactement trois 1. Déterminant la position des 1 dans une telle somme, il devient alors évident que F (n ,k ) est égal au coefficient binomial
F
(
n
,
k
)
=
(
n
+
k
− − -->
1
2
k
)
{\displaystyle F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}{k}}}
où n et k sont de parité opposée, ce qui permet de lire ces coefficients dans le triangle de Pascal , comme montré ci-dessus.
Références
↑ a et b (en) Arthur T. Benjamin et Jennifer J. Quinn , Proofs that Really Count , Washington, DC, MAA , 2003 , 193 p. (ISBN 0-88385-333-7 , lire en ligne ) , « §9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial » , p. 141 .
↑ (en) Leonard Carlitz , « Some orthogonal polynomials related to Fibonacci numbers », Fibonacci Quarterly , vol. 4, no 1, 1966 , p. 43-48 (lire en ligne ) .
↑ a b et c (en) Yi Yuan et Wenpeng Zhang , « Some identities involving the Fibonacci Polynomials », Fibonacci Quarterly , vol. 40, no 4, 2002 , p. 314 (MR 1920571 , lire en ligne ) .
↑ (en) Carnegie Mellon Informatics and Mathematics Competition (CMIMC) 2016 , exercice 10 (à partir de la page 5).
↑ a et b (en) V. E. Hoggatt (en) et Marjorie Bicknell , « Roots of Fibonacci polynomials. », Fibonacci Quarterly , vol. 11, 1973 , p. 271-274 (MR 0332645 , lire en ligne ) .
↑ (en) Bala Sury, « Trigonometric expressions for Fibonacci and Lucas Numbers », Acta Math. Univ. Comenianae , vol. 79, no 2, 2010 , p. 199-208 (lire en ligne ) .
Voir aussi
Bibliographie
(en) Dominique Foata et Guo-Niu Han, « Nombres de Fibonacci et polynômes orthogonaux », Leonardo Fibonacci : il tempo, le opere, l’eredit`a scientifica , 1994 (lire en ligne )
(en) V. E. Hoggatt et Calvin T. Long , « Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials », Fibonacci Quarterly , vol. 12, 1974 , p. 113 (MR 0352034 , lire en ligne )
(en) Paolo Emilio Ricci , « Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials », Rivista di Matematica della Università di Parma , vol. 4, 1995 , p. 137-146 (MR 1395332 )
(en) Johann Cigler , « q-Fibonacci polynomials », Fibonacci Quarterly , no 41, 2003 , p. 31-40 (MR 1962279 , lire en ligne )
Liens externes