Polynôme de Bernstein

Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste^[1],[2],[3] du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description

Pour un degré m ≥ 0, il y a m + 1 polynômes de Bernstein Bm
0, ..., Bm
m définis, sur l'intervalle [0 ; 1], par

${\displaystyle B_{i}^{m}(u)={\binom {m}{i}}u^{i}(1-u)^{m-i}}$,

où les ${\displaystyle {\binom {m}{i}}={\frac {m!}{i!(m-i)!}}}$ sont les coefficients binomiaux.

Les m + 1 polynômes de Bernstein forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus m.

Premiers polynômes

Les polynômes de Bernstein pour les premiers ordres sont :

• n = 0

${\displaystyle B_{0}^{0}(x)=1}$

• n = 1

${\displaystyle B_{0}^{1}(x)=1-x,\ B_{1}^{1}(x)=x}$

• n = 2

${\displaystyle B_{0}^{2}(x)=(1-x)^{2},\ B_{1}^{2}(x)=2x(1-x),\ B_{2}^{2}(x)=x^{2}}$

• n = 3

${\displaystyle B_{0}^{3}(x)=(1-x)^{3},\ B_{1}^{3}(x)=3x(1-x)^{2},\ B_{2}^{3}(x)=3x^{2}(1-x),\ B_{3}^{3}(x)=x^{3}}$

Propriétés

Polynômes de Bernstein de degré 3.

Ces polynômes présentent plusieurs propriétés importantes : ${\displaystyle \forall u\in [0,1]}$

• partition de l'unité :

${\displaystyle \qquad \sum _{i=0}^{m}B_{i}^{m}(u)=1,}$

• positivité :

${\displaystyle \forall i\in \{0,\ldots ,m\}\quad B_{i}^{m}(u)\geq 0,}$

• symétrie :

${\displaystyle \forall i\in \{0,\ldots ,m\}\quad B_{i}^{m}(u)=B_{m-i}^{m}(1-u),}$

• valeurs aux bords :

${\displaystyle \forall i\in \{0,\ldots ,m\}\quad B_{i}^{m}(0)=\delta _{i,0},B_{i}^{m}(1)=\delta _{i,m}}$

avec δ le symbole de Kronecker

• multiplicité des racines :

pour Bm
i, 0 est une racine de multiplicité i et 1, une racine de multiplicité m – i.

• formules de récurrence : pour m > 0,

${\displaystyle B_{i}^{m}(u)={\begin{cases}(1-u)B_{i}^{m-1}(u)&{\text{si }}i=0\\(1-u)B_{i}^{m-1}(u)+uB_{i-1}^{m-1}(u)&\forall i\in \{1,\dots ,m-1\}\\uB_{i-1}^{m-1}(u)&{\text{si }}i=m.\end{cases}}}$.

${\displaystyle B_{i}^{m}\prime (u)=m\left(B_{i-1}^{m-1}(u)-B_{i}^{m-1}(u)\right).}$

• décomposition sur la base canonique :

${\displaystyle B_{i}^{m}(u)={\binom {m}{i}}\sum _{k=0}^{m-i}{\binom {m-i}{k}}(-1)^{k}u^{i+k}=\sum _{l=i}^{m}{\binom {m}{l}}{\binom {l}{i}}(-1)^{l-i}u^{l}}$

et inversement

${\displaystyle u^{p}=\sum _{k=0}^{m-p}{\binom {m-p}{k}}{\frac {1}{\binom {m}{k}}}B_{m-k}^{m}(u)={\frac {1}{\binom {m}{p}}}\sum _{s=p}^{m}{\binom {s}{p}}B_{s}^{m}(u).}$

Lien avec la loi binomiale

D'un point de vue probabiliste, pour tout p ∈ [0;1], Bm
i(p) est la probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} (X=i)}$, où X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (m,p). C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.

Notes et références

1. Sergueï Natanovitch Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », Communications de la Société mathématique de Kharkow Série 2, vol. 13,‎ 1912 (lire en ligne).
2. (en) Rida T. Farouki, « The Bernstein polynomial basis: A centennial retrospective », Computer Aided Geometric Design, vol. 29, n^o 6,‎ 2012, p. 379-419 (ISSN 0167-8396, DOI 10.1016/j.cagd.2012.03.001, lire en ligne).
3. (en) Richard V. Kadison, « Bernstein Polynomials and Approximation ».

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Bernstein Polynomial », sur MathWorld

Voir aussi

• Les courbes de Bézier sont construites à l'aide des polynômes de Bernstein
• Algorithme de De Casteljau, permet de calculer efficacement les polynômes de Bernstein
• Approximation de Bernstein, permet d'approcher uniformément des fonctions continues