Polynôme de Bateman

En mathématiques, les polynômes de Bateman^{[Note 1]} constituent une famille de polynômes remarquables, étudiée par le mathématicien anglais Harry Bateman^[1],[2]. Initialement introduits en rapport avec l'étude des fonctions hypergéométriques, ces polynômes constituent une famille orthogonale et à ce titre sont liés à d'autres familles telles les polynômes de Legendre, de Jacobi, de Bernstein, etc. ^[3],[4],[5] Ils apparaissent naturellement dans plusieurs contextes, tels que l'étude des solutions des équations aux dérivées partielles dans des contextes symétriques^[6].

Définition

Bateman^[1] définit initialement les polynômes ${\displaystyle F_{n}}$ en termes de la fonction hypergéométrique et d'une série génératrice :

$${\displaystyle (1-t)^{z}F\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}},1;t^{2}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)}$$Une définition équivalente à partir de la fonction hypergéométrique généralisée est :

$${\displaystyle F_{n}(z)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(z+1)\\1,~1\end{array}};1\right)}$$

Bateman montre également que ces polynômes satisfont à une relation de récurrence : ${\displaystyle (n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z)}$, avec ${\displaystyle F_{0}(z)=1,F_{1}(z)=-z}$. En particulier, cette relation établit que le degré de ${\displaystyle F_{n}}$est exactement ${\displaystyle n}$.

Relations aux autres familles et généralisation

Carlitz a montré qu'à un changement de variable près, les polynômes de Bateman coïncident avec les polynômes de Touchard^[7] :

$${\displaystyle Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1)}$$

Une caractérisation des polynômes de Bateman à partir des polynômes de Legendre ${\displaystyle P_{n}}$ et des fonctions hyperboliques est donnée par la relation :

$${\displaystyle F_{n}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)\operatorname {sech} (x)=\operatorname {sech} (x)P_{n}(\tanh(x))}$$où on interprète le membre de gauche comme un opérateur pseudo-différentiel. Cette dernière écriture se prête naturellement à une généralisation, due à Pasternack, à savoir^[8] :$${\displaystyle F_{n}^{(m)}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m+1}(x)P_{n}(\tanh(x))}$$

qui possède également une écriture à partir de la fonction hypergéométrique généralisée^[8],[9], pour tout ${\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{-1\}}$, une relation de récurrence analogue à ${\displaystyle F_{n}}$, et qui forme encore une famille orthogonale^{[Note 2],[10],[11]}.

Enfin, les polynômes de Bateman peuvent être exprimés en fonction des polynômes de Hahn^{[12],[4],[13]} ${\displaystyle p_{n}}$(ou des polynômes de Wilson^[14], qui les généralisent) après changement de variable, précisément ${\displaystyle p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=\mathrm {i} ^{n}n!F_{n}\left(2\mathrm {i} x\right)}$.

Propriétés remarquables

Les polynômes de Bateman forment une famille orthogonale, pour le produit scalaire défini ainsi^[15] :

$${\displaystyle \langle F_{n},F_{m}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(\mathrm {i} x)F_{n}(\mathrm {i} x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,\mathrm {d} x={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{m,n}}$$

où ${\displaystyle \delta _{m,n}}$est la fonction de Kronecker. En particulier, il ne s'agit pas de polynômes orthonormés, mais on peut poser ${\displaystyle B_{n}(z)=2\mathrm {i} ^{n}F_{n}(\mathrm {i} z)/{\sqrt {\pi (2n+1)}}}$qui vérifient ${\displaystyle \langle B_{n},B_{m}\rangle =\delta _{m,n}}$, les « polynômes de Bateman normalisés ».

Premiers polynômes de la famille

On obtient les premiers polynômes de la famille en itérant la relation de récurrence, à partir des deux premières valeurs ${\displaystyle F_{0}(z)=1,F_{1}(z)=-z}$. Ainsi :

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2}(x)&={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}\\F_{3}(x)&=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}\\F_{4}(x)&={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}\\F_{5}(x)&={-{\frac {407}{960}}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}\end{aligned}}}$

Notes et références

Notes

1. Aussi appelés polynômes de Bateman-Pasternack, ou polynômes de Touchard. Cette dernière appellation peut porter à confusion avec une autre famille de polynômes, associée au mathématicien Jacques Touchard. Dans la littérature les deux ne sont pas toujours distingués, bien que leur définition diffère, car un changement de variable approprié permet de passer de l'un à l'autre.
2. Pasternack lui-même n'a pas donné de démonstration de l'orthogonalité. Elle est due à Bateman (au moyen de la transformée de Fourier) et Hardy (au moyen de la transformée de Mellin) et détaillée dans les articles cités. Voir aussi (Koelink 1996) pour les détails historiques

Références

1. (en) Harry Bateman, « Some properties of a certain set of polynomials », Tôhoku Math. Journ., n^o 37,‎ 1933, p. 23-38 (lire en ligne)
2. (en) H. Bateman, « The Polynomial F_n(x) », Annals of Mathematics, vol. 35, n^o 4,‎ 1934, p. 767–775 (DOI 10.2307/1968493, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
3. (en) Mary Celine Fasenmyer, « Some generalized hypergeometric polynomials », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 53, n^o 8,‎ 1947, p. 806–812 (ISSN 0002-9904 et 1936-881X, DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08893-5, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
4. (en) H. Koelink, « On Jacobi and continuous Hahn polynomials », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 124, n^o 3,‎ 1996, p. 887–898 (ISSN 0002-9939 et 1088-6826, DOI 10.1090/S0002-9939-96-03190-5, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
5. (en) Theodore Seio Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Courier Corporation, 2014, 272 p. (ISBN 9780486141411, 0486141411 et 1306937825, OCLC 883663719, lire en ligne), p. 162
6. (en) F. Bayen et C. Fronsdal, « Quantization on the sphere », Journal of Mathematical Physics, vol. 22, n^o 7,‎ juillet 1981, p. 1345–1349 (ISSN 0022-2488 et 1089-7658, DOI 10.1063/1.525071, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
7. (en) Leonard Carlitz, « Some polynomials of Touchard connected with the Bernoulli numbers », Journal canadien de mathématiques, vol. 9, n^o 0,‎ 1^er janvier 1957, p. 188–190 (ISSN 1496-4279 et 0008-414X, DOI 10.4153/cjm-1957-021-9, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
8. (en) Simon Pasternack, « XVII. A generalization of the polynomial F_n(x) », The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 28, n^o 187,‎ août 1939, p. 209–226 (ISSN 1941-5982 et 1941-5990, DOI 10.1080/14786443908521175, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
9. (en) S.M. Abbas, M.A. Khan, A.H. Khan, « On some generating functions of generalized Bateman's and Pasternack's polynomials of two variables », Communications of the Korean Mathematical Society, vol. 1, n^o 28,‎ 2013, p. 87-105 (lire en ligne)
10. (en) H. Bateman, « An Orthogonal Property of the Hypergeometric Polynomial », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 28, n^o 9,‎ 1^er septembre 1942, p. 374–377 (DOI 10.1073/pnas.28.9.374, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
11. (en) Richard Askey et James Wilson, « A Set of Hypergeometric Orthogonal Polynomials », SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol. 13, n^o 4,‎ juillet 1982, p. 651–655 (ISSN 0036-1410 et 1095-7154, DOI 10.1137/0513043, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
12. (de) Wolfgang Hahn, « Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen », Mathematische Nachrichten, vol. 2, n^os 1-2,‎ 1949, p. 4–34 (ISSN 0025-584X et 1522-2616, DOI 10.1002/mana.19490020103, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
13. (en) H. T. Koelink, « Identities for 𝑞-ultraspherical polynomials and Jacobi functions », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 123, n^o 8,‎ 1995, p. 2479–2487 (ISSN 0002-9939 et 1088-6826, DOI 10.1090/S0002-9939-1995-1273504-8, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
14. (en) James A. Wilson, « Some Hypergeometric Orthogonal Polynomials », SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol. 11, n^o 4,‎ juillet 1980, p. 690–701 (ISSN 0036-1410 et 1095-7154, DOI 10.1137/0511064, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)
15. (en) G. H. Hardy, « Notes on special systems of orthogonal Functions (III): A System of orthogonal polynomials », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 36, n^o 1,‎ janvier 1940, p. 1–8 (ISSN 1469-8064 et 0305-0041, DOI 10.1017/S0305004100016947, lire en ligne, consulté le 17 août 2018)