Exemple de notation sur un tableau noir. On peut lire que "l'ensemble des complexes est composé des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme "a+bi", avec a et b deux réels, et pour lequel i²=-1".
On utilise en mathématiques un ensemble de notations pour condenser et formaliser les énoncés et les démonstrations. Ces notations se sont dégagées peu à peu au fil de l'histoire des mathématiques et de l’émergence des concepts associés à ces notations. Elles ne sont pas totalement standardisées.
Quand deux traductions d'une notation sont données, l'une est la traduction mot à mot et l'autre est la traduction naturelle.
Le présent article traite des notations mathématiques latines. Il existe d'autres notations mathématiques non latines telles que la notation mathématique arabe moderne(en).
Il existe également des notations mathématiques destinées aux non voyants.
Introduction
Comme tout langage formel, une notation mathématique a pour but de retirer l'ambiguïté (notamment linguistique) d'une proposition en la décomposant en un ensemble limité de symboles dont l'agencement ne peut avoir qu'un unique sens.
Par exemple, pour dire que vaut un, on utilisera : .
Ce langage scientifique permet aussi, dans une moindre mesure, de faciliter la communication entre des mathématiciens ne parlant pas la même langue. S'il ne remplace pas complètement le langage naturel, il permet d'exprimer les concepts mathématiques les plus complexes sous une forme qui est quasi identique suivant de nombreuses langues et cultures, évitant ainsi les quiproquos sur les concepts mathématiques, par des gens ne maîtrisant pas toutes les subtilités grammaticales et syntaxiques de la langue de communication employée.
Au sein même de la famille culturelle utilisant la notation mathématique latine, certains concepts du langage formel restent cependant spécifiques à un bassin linguistique donné. Ainsi, dans la littérature mathématique francophone, l'assertion signifie « l'ensemble A est un sous-ensemble de B ou est égal à B » alors que dans la littérature mathématique anglophone, il signifiera plutôt « l'ensemble A est un sous-ensemble strict de B ».
La liste de symboles qui suit n'est pas exhaustive. Cependant, l'ensemble des symboles présentés ici sont utilisés de façon universelle dans la littérature mathématique francophone.
Un ensemble représente une collection d'objets. Les objets de la collection sont les éléments de l'ensemble.
Définition d'un ensemble
Un ensemble peut être défini :
en compréhension, c'est-à-dire par une propriété caractéristique parmi les éléments d'un ensemble donné. Par exemple (l'ensemble de tous les entiers naturels pairs) ;
L'ordre des quantificateurs est par conséquent important : la première proposition est vraie, l'autre est fausse.
Pour tous réels a et l, il existe une application f de dans telle que f a pour limite l en a.
Il existe un unique
La notation signifie il existe un unique... (ou il existe un et un seul...). Ce quantificateur se définit à partir des quantificateurs précédents et de l'égalité. Pour P(x) une propriété de x :
équivaut par définition à
Il existe un unique x qui vérifie P(x) équivaut à Il existe x qui vérifie P(x) et quel que soit y qui vérifie P(y) alors y=x.
ou de façon équivalente :
équivaut à .
Exemple
Pour tout x réel non nul, il existe un unique réel y non nul tel que le produit xy soit égal à 1.
En d'autres termes, x admet un unique inverse pour la multiplication.
Symboles arithmétiques
Ces symboles sont utilisés pour simplifier l'écriture de longues séries (par exemple en évitant d'utiliser des pointillés). On utilise dans chacun de ces cas une variable dite variable muette qui va prendre des valeurs dans un ensemble précis. Cette variable muette va alors permettre la description d'un terme générique placé après le symbole.
Ici est la variable muette, elle prend ses valeurs dans l'ensemble (ensemble d'entiers). Le terme général de cette somme est .
étant l'ensemble des entiers pairs positifs
À gauche de l’égalité, appartient à un ensemble défini par deux conditions : ses éléments sont des entiers positifs pairs et ils sont strictement plus petits que 50
↑Avec la définition du produit vide ; en réalité, on préfère garder n! non défini si n est négatif, pour conserver l'équation fonctionnelle ; voir fonction Gamma