Module de convergence

En analyse réelle un module de convergence est une fonction qui indique à quelle vitesse une séquence convergente converge. Ces modules sont souvent employés dans l'étude de l'analyse calculable et des mathématiques constructives.

Si une suite de nombres réels (x_i) converge vers un nombre réel x, alors par définition, pour tout réel ${\displaystyle \epsilon >0}$ il existe un entier naturel N tel que si i > N alors ${\displaystyle |x-x_{i}|<\epsilon }$. Un module de convergence est une fonction qui, étant donné ε, renvoie une valeur correspondante de N.

Définition

Supposons que (x_i) est une suite convergente de nombres réels de limite x. Il existe deux manières de définir un module de convergence comme une fonction de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ vers ${\displaystyle \mathbb {N} }$

• Comme une fonction ${\displaystyle f(n)}$ telle que pour tout ${\displaystyle n}$, si ${\displaystyle i>f(n)}$ alors ${\displaystyle |x-x_{i}|<{{1} \over {n}}}$
• Comme une fonction ${\displaystyle g(n)}$ telle que pour tout ${\displaystyle n}$, si ${\displaystyle i\geq {j}>g(n)}$ alors | x _i − x _j | < ${\displaystyle 1 \over {n}}$

Cette dernière définition est souvent employée dans des contextes constructifs, où la limite x peut en fait être identifiée à la séquence convergente. Certains auteurs utilisent une autre définition qui remplace ${\displaystyle 1 \over n}$ par ${\displaystyle 2^{-n}}$.

Voir également

• Module de continuité

Référence

• Klaus Weihrauch (2000), Computable Analysis.