Mesure image

En théorie de la mesure, la mesure image est une mesure définie sur un espace mesurable et transférée sur un autre espace mesurable via une fonction mesurable.

Définition

On se donne deux espaces mesurables ${\displaystyle \textstyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ et ${\displaystyle \textstyle (X_{2},\Sigma _{2})}$, une application mesurable ${\displaystyle \textstyle f\colon X_{1}\rightarrow X_{2}}$ et une mesure ${\displaystyle \textstyle \mu \colon \Sigma _{1}\rightarrow [0,+\infty ]}$. La mesure image de μ par f est une mesure sur ${\displaystyle \textstyle \Sigma _{2}}$ notée ${\displaystyle \textstyle f_{\ast }\mu }$ et définie par :

${\displaystyle (f_{\ast }\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right){\text{ pour tout }}B\in \Sigma _{2}.}$

Cette définition s'applique également aux mesures complexes signées.

Formule de changement de variables

La formule de changement de variables est l'une des principales propriétés^[1] : Une fonction g sur X₂ est intégrable par rapport à la mesure image f_*μ si et seulement si la fonction composée g∘ f est intégrable par rapport à la mesure μ. Dans ce cas les deux intégrales coïncident :

${\displaystyle \int _{X_{2}}g~\mathrm {d} (f_{\ast }\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f~\mathrm {d} \mu .}$

Exemples et applications

• La mesure de Lebesgue naturelle sur le cercle unité S¹, vu ici comme sous ensemble du plan complexe ℂ, n'est pas définie comme la mesure image de la mesure de Lebesgue λ sur l'ensemble des réels ℝ, mais de sa restriction, que nous noterons également λ, à l'intervalle [0, 2π[. Soit f : [0, 2π[ → S¹ la bijection naturelle définie par f(t) = e^it. La mesure de Lebesgue sur S¹ est alors la mesure image f_*λ. Cette mesure f_*λ peut également être appelée mesure de longueur d'arc ou mesure d'angle, puisque la f_*λ-mesure de l'arc S¹ est précisément la longueur de l'arc.
• L'exemple précédent s'étend pour définir la mesure de Lebesgue sur le tore n-dimensionnel Tⁿ. La mesure de Lebesgue sur Tⁿ est, à renormalisation près, la mesure de Haar sur le groupe de Lie compact connexe Tⁿ.
• Une variable aléatoire est une application mesurable entre un espace probabilisé ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ et ℝ. La mesure de probabilité d'une variable aléatoire est la mesure image de ℙ par la variable aléatoire X :

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=X_{\ast }\mathbb {P} =\mathbb {P} (X^{-1}(\cdot )).}$

• Considérons la fonction mesurable f : X → X et la composition de f par elle-même n fois :

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n{\text{ fois}}}\colon X\to X.}$

Cette fonction itérative forme un système dynamique. Il est souvent utile de trouver une mesure μ sur X que l'application f laisse inchangée, ou mesure invariante (en), i.e. qui vérifie : f_*μ = μ.

Références

1. (en) V. I. Bogachev, Measure Theory, Springer, 2007, sections 3.6-3.7