Radil a évolué dans l'organisation du HC Pardubice comme joueur d'âge junior avant de faire ses débuts avec le grand club dans la Extraliga lors de la saison 2008-2009.
À sa 8e saison avec Pardubice, en 2014-2015, il établit de nouveaux sommets en carrière avec une récolte de 29 aides et 39 points en 52 matchs. Le , il quitte la Extraliga et signe une entente de 1 an comme agent libre avec le HK Spartak Moscou dans la KHL.
Il connaît une bonne première campagne avec le Spartak en 2015-2016 alors qu'il obtient 32 points en 57 parties. Il est d'ailleurs récompensé par l'équipe en signant une prolongation de contrat de 2 ans, le .
À la fin de la saison 2017-2018, sa troisième avec le Spartak, il décide de quitter la formation russe afin de poursuivre son rêve de jouer dans la LNH. Il accepte ainsi, le , un contrat de 1 an avec les Sharks de San José à titre de joueur autonome.
Le , Radil dispute son premier match en carrière dans la LNH qui se conclut par une victoire des Sharks au compte de 4-0 face aux Canucks de Vancouver. Le , il marque son premier but dans la LNH dans un gain de 5-3 contre les Coyotes de l'Arizona.
Après un bon départ avec les Sharks qui se traduit par une récolte de 9 points en 18 rencontres, Radil signe une prolongation de contrat de 1 an, le .
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