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Jaume Sospedra est un ailier droit, grand dribleur et spécialiste des centres. Il débute au Güell FC, club de Colònia Güell. En 1931, il passe dans les rangs du FC Santboià, puis dans ceux du CF Gavà en 1934. Un an après, il joue avec CE Sabadell où il reste jusqu'en 1939.
En 1939, à la reprise des compétitions après la fin de la Guerre civile espagnole, il rejoint le FC Barcelone. Il reste au Barça pendant huit saisons, jusqu'en 1947. Il remporte le championnat d'Espagne en 1945 et une Coupe d'Espagne en 1942. Lors de la finale de Coupe en 1942, Sospedra est l'auteur du centre du but marqué par Mariano Martín qui donne la victoire au FC Barcelone 4 à 3 dans les prolongations. Sospedra joue un total de 161 matchs avec Barcelone et il inscrit 38 buts.
En 1947, il est recruté par l'Espanyol de Barcelone où il joue pendant une saison avant de mettre un terme à sa carrière de footballeur.