Isomorphisme musical

En mathématiques, plus précisément en géométrie différentielle, l'isomorphisme musical (ou isomorphisme canonique ) est un isomorphisme entre le fibré tangent ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ et le fibré cotangent ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ d'une variété pseudo-riemannienne induite par son tenseur métrique. Il existe des isomorphismes similaires sur les variétés symplectiques. Le terme musical fait référence à l'utilisation des symboles ${\displaystyle \flat }$ (bémol) et ${\displaystyle \sharp }$ (dièse)^[1],[2].

En notation covariante et contravariante, il est également connu sous le nom d'indice d'élévation et d'abaissement.

Discussion

Soit (M, g) une variété pseudo-riemannienne. Supposons que {e_i} soit un repère tangent mobile (voir aussi repère lisse) pour le fibré tangent TM avec, comme repère dual (voir aussi base duale ), le co- repère mobile (un repère tangent mobile pour le fibré cotangent ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ . Voir aussi coframe ) {eⁱ}.

Ensuite, localement, nous pouvons exprimer la métrique pseudo-riemannienne (qui est un champ tensoriel 2 -covariant symétrique et non dégénéré) sous la forme g = g_ij eⁱ ⊗ e^j (où nous employons la convention de sommation d'Einstein).

Étant donné un champ vectoriel X = Xⁱe_i, nous définissons son bémol :

${\displaystyle X^{\flat }:=g_{ij}X^{i}\,\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\,\mathbf {e} ^{j}.}$

C'est ce qu'on appelle « abaisser un indice ». En utilisant la notation traditionnelle entre crochets en losange pour le produit scalaire défini par g, nous obtenons la relation (un peu plus « transparente ») :

${\displaystyle X^{\flat }(Y)=\langle X,Y\rangle }$

pour tous les champs vectoriels X et Y .

De même, étant donné un champ de covecteurs ω = ω_i eⁱ, on définit son « dièse » :

${\displaystyle \omega ^{\sharp }:=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j},}$

où g^ij sont les composantes du tenseur métrique inverse (données par les entrées de la matrice inverse de g_ij ). Prendre le dièse d'un champ de covecteurs s'appelle " élever un indice ". Dans la notation du produit interne, cela se lit

${\displaystyle {\bigl \langle }\omega ^{\sharp },Y{\bigr \rangle }=\omega (Y),}$

pour tout champ de covecteurs ω et tout champ de vecteurs Y.

Par cette construction, on a deux isomorphismes mutuellement inverses

${\displaystyle \flat :{\rm {T}}M\to {\rm {T}}^{*}M,\qquad \sharp :{\rm {T}}^{*}M\to {\rm {T}}M.}$

Ce sont des isomorphismes de fibrés vectoriels et, par conséquent, nous avons, pour chaque p dans M, des isomorphismes d'espace vectoriel mutuellement inverses entre T_p M et T^∗
_pM.

Extension aux produits tenseurs

Les isomorphismes musicaux peuvent également être étendus aux faisceaux

${\displaystyle \bigotimes ^{k}{\rm {T}}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}}^{*}M.}$

L'indice qui doit être augmenté ou abaissé doit être indiqué. Par exemple, considérons le (0,2)-champ tenseur X = X_ij eⁱ ⊗ e^j. En élevant le deuxième indice, nous obtenons le (1, 1) -champ tenseur.

${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.}$

Extension aux vecteurs-k et formes-k

Dans le contexte de l'algèbre extérieure, une extension des opérateurs musicaux peut être définie sur ⋀V et son dual ⋀^*
V, qui avec un abus mineur de notation, peut être noté identique, et sont à nouveau des inverses mutuels : ^[3]

${\displaystyle \flat :{\bigwedge }V\to {\bigwedge }^{*}V,\qquad \sharp :{\bigwedge }^{*}V\to {\bigwedge }V,}$

Défini par

${\displaystyle (X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.}$

Dans cette extension, dans laquelle un bémol fait correspondre les p-vecteurs aux p-covecteurs et un dièse fait correspondre les p-covecteurs aux p-vecteurs, tous les indices d'un tenseur totalement antisymétrique sont simultanément élevés ou abaissés, donc aucun indice n'a besoin d'être indiqué :

${\displaystyle Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k}\mathbf {e} ^{i}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{k})^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.}$

Trace d'un tenseur à travers un tenseur métrique

Étant donné un champ tensoriel de type (0, 2) X = X_ij eⁱ ⊗ e^j, on définit la trace de X à travers le tenseur métrique g par

${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ji}X_{ij}=g^{ij}X_{ij}.}$

Remarquons que la définition de trace est indépendante du choix de l'indice à relever, puisque le tenseur métrique est symétrique.

Articles connexes

• Dualité (mathématiques)
• Hausse et baisse des indices
• Espaces duaux, voir § Dual space
• Dual de Hodge
• Fibrés vectoriels
• Bémol (musique) et dièse (musique) sur les signes flat
  et sharp
  

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Musical isomorphism » (voir la liste des auteurs).

1. Lee 2003, Chapitre 11.
2. Lee 1997, Chapitre 3.
3. Vaz et da Rocha 2016, pp. 48, 50.

Bibliographie

• (en) J. M. Lee, Introduction to Smooth manifolds, vol. 218, coll. « Springer Graduate Texts in Mathematics », 2003 (ISBN 0-387-95448-1)
• (en) J. M. Lee, Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature, vol. 176, New York · Berlin · Heidelberg, Springer Verlag, coll. « Springer Graduate Texts in Mathematics », 1997, 226 p. (ISBN 978-0-387-98322-6)
• (en) Jayme Vaz et Roldão da Rocha, An Introduction to Clifford Algebras and Spinors, Oxford, Oxford University Press, 2016, 242 p. (ISBN 978-0-19-878-292-6, lire en ligne)