Dans un plan en blocs incomplet équilibré, trois paramètres interviennent :
k, le nombre de variétés différentes figurent dans chaque bloc, avec 1 ≤ k < v ; aucune variété ne doit apparaître deux fois dans un même bloc;
λ, le nombre de blocs où deux variétés quelconques apparaissent simultanément ;
r , le nombre de blocs contenant chaque variété.
L'inégalité de Fisher est simplement la formule :
Inégalité de Fisher — b ≥ v.
Démonstration
Soit M la matrice de dimensions v × b définie par Mi,j = 1 si l'élément i est dans le bloc j et 0 sinon. La matrice B = MMT (où MT est la transposée de B ) est une matrice de dimensions v × v telle que Bi,i = r et Bi,j = λ pour i ≠ j . Puisque r ≠ λ, on a det(B) ≠ 0, donc rang(B) = v ; d'autre part, rang(B) ≤ rang(M) ≤ b, donc v ≤ b .
Généralisation
L'inégalité de Fisher est valable pour des classes de designs plus généraux : un plan en blocs équilibré par paire (ou PBD) est un ensemble X avec une famille de sous-ensembles non vides de X (pas nécessairement de même taille et pouvant contenir des répétitions) de sorte que chaque paire d'éléments distincts de X est contenue dans exactement λ > 0 sous-ensembles. L'ensemble X peut être lui-même l'un des sous-ensembles, et si tous les sous-ensembles sont des copies de X, le PBD est appelé "trivial". La taille de X est v et le nombre de sous-ensembles dans la famille (compté avec multiplicité) est b .
Théorème — Pour tout PBD non trivial, on a v ≤ b[1].
Théorème de De Bruijn-Erdős — Pour un PBD avec λ = 1 n'ayant pas de blocs de taille 1 ni de taille v, on a v ≤ b, avec égalité si et seulement si le PBD est un plan projectif ou une presque-droite (ce qui signifie exactement n − 1 des points sont colinéaires)[2].
Dans une autre direction, Ray-Chaudhuri et Wilson ont prouvé en 1975 que dans un plan de paramètres 2s-(v, k, λ), le nombre de blocs est au moins .