Heptacontagone

Un heptacontagone est un polygone à 70 sommets, donc 70 côtés et 2 345 diagonales.

La somme des angles internes d'un heptacontagone non croisé vaut 12 240 degrés.

Heptacontagones réguliers

Un heptacontagone régulier est un heptacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a douze : onze étoilés (notés {70/k} pour k impair de 3 à 33 sauf les multiples de 5 ou 7) et un convexe (noté {70}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'heptacontagone régulier ».

Les douze heptacontagones réguliers.

Représentation	{70}	{70/3}	{70/9}	{70/11}	{70/13}	{70/17}
Angle interne	≈ 174,857°	≈ 164,571°	≈ 133,714°	≈ 123,429°	≈ 113,143°	≈ 92,5714°
Représentation	{70/19}	{70/23}	{70/27}	{70/29}	{70/31}	{70/33}
Angle interne	≈ 82,2857°	≈ 61,7143°	≈ 41,1429°	≈ 30,8571°	≈ 20,5714°	≈ 10,2857°

Caractéristiques de l'heptacontagone régulier

Chacun des 70 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{70}}=5{,}143^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {12\,240^{\circ }}{70}}=174{,}857^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=70\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A={\frac {70}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{70}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{70}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\tfrac {\pi }{70}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\tfrac {\pi }{70}}\right)}}}$.

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Heptacontagon » (voir la liste des auteurs).