Hectogone

En géométrie, un hectogone ou hécatontagone est un polygone à 100 sommets, donc 100 côtés et 4 850 diagonales.

La somme des angles internes d'un hectogone non croisé vaut 17 640 degrés.

Hectogones réguliers

Un hectogone régulier est un hectogone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a vingt : dix-neuf étoilés (notés {100/k} pour k impair de 3 à 49 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {100}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hectogone régulier ».

Les vingt hectogones réguliers.

Représentation Symbole de Schläfli {100} {100/3} {100/7} {100/9} {100/11} Angle interne 176,4° 169,2° 154,8° 147,6° 140,4° Représentation Symbole de Schläfli {100/13} {100/17} {100/19} {100/21} {100/23} Angle interne 133,2° 118,8° 111,6° 104,4° 97,2° Représentation Symbole de Schläfli {100/27} {100/29} {100/31} {100/33} {100/37} Angle interne 82,8° 75,6° 68,4° 61,2° 46,8° Représentation Symbole de Schläfli {100/39} {100/41} {100/43} {100/47} {100/49} Angle interne 39,6° 32,4° 25,2° 10,8° 3,6°

Caractéristiques de l'hectogone régulier

Chacun des 100 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{100}}=3{,}6^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {17\,640^{\circ }}{100}}=176{,}4^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=100\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A=25\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{100}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{100}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{100}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{100}}\right)}}}$.

L'hectogone est constructible à la règle et au compas.

Voir aussi