Cet article est une ébauche concernant l’électronique.
Le but de cette page est d'expliquer et de démontrer comment une machine électrique fonctionne et produit un couple.
Soit un circuit magnétique entouré par un bobinage comportant N spires alimenté par une tension u {\displaystyle u\,} . On note φ {\displaystyle \varphi \,} le flux par spire et Φ = N φ {\displaystyle \Phi =N\varphi \,} le flux total embrassé par la bobine.
On peut faire le schéma électrique équivalent suivant avec une résistance R qui symbolise les pertes dans les câbles et une fem e = d Φ d t {\displaystyle e={d\Phi \over dt}\,} voir Loi de Lenz.
donc on peut écrire :
u = R i + d Φ d t {\displaystyle u=Ri+{d\Phi \over dt}\,}
En multipliant cette équation par i d t {\displaystyle idt\,} on obtient :
u . i . d t = R . i 2 . d t + N . i . d φ {\displaystyle u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,}
Donc on alimente un circuit magnétique avec une tension u, le circuit consomme une puissance We, on obtient de la chaleur W_th (les câbles chauffent) et le reste est de l'énergie magnétique. donc d W e = d W t h + d W m {\displaystyle dW_{e}=dW_{th}+dW_{m}\,}
Reprenons la formule plus haut u . i . d t = R . i 2 . d t + N . i . d φ {\displaystyle u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,} On peut identifier d W e = u . i . d t {\displaystyle dW_{e}=u.i.dt\,} la puissance consommée et d W t h = R . i 2 . d t {\displaystyle dW_{th}=R.i^{2}.dt\,} les pertes thermiques.
Par identification on en déduit que d W m = N i d φ {\displaystyle dW_{m}=Nid\varphi \,} . Donc :
W m = ∫ N i d φ {\displaystyle W_{m}=\int {Nid\varphi }\,}
Si on considère que le circuit est indéformable alors d S = 0 {\displaystyle dS=0\,} avec S {\displaystyle S\,} = surface délimitée par le circuit.
φ = B . S ⇒ d φ = S . d B + d S . B ⇒ d W m = N . i . S . d B {\displaystyle \varphi =B.S\Rightarrow d\varphi =S.dB+dS.B\Rightarrow dW_{m}=N.i.S.dB\,}
N i = ∫ H . d l = H l {\displaystyle Ni=\int {H.dl}=Hl}
donc on en déduit d W m = H . l . S . d B = H . d B . V {\displaystyle dW_{m}=H.l.S.dB=H.dB.V\,} avec V = l . S = {\displaystyle V=l.S=\,} Volume
donc W m = ∫ H . d B . V {\displaystyle W_{m}=\int {H.dB.V}}
Cas linéaire : On considère que le matériau est non saturé.
donc Φ = L i {\displaystyle \Phi =Li\,} et B = μ . H {\displaystyle B=\mu .H\,}
W m = 1 2 . Φ . i {\displaystyle W_{m}={\frac {1}{2}}.\Phi .i\,} si Φ = L . i {\displaystyle \Phi =L.i\,} alors W m = 1 2 . L . i 2 {\displaystyle W_{m}={\frac {1}{2}}.L.i^{2}}
W m V = 1 2 . B . H = 1 2 . μ . H 2 = B 2 2 μ {\displaystyle {\frac {W_{m}}{V}}={\frac {1}{2}}.B.H={\frac {1}{2}}.\mu .H^{2}={\frac {B^{2}}{2\mu }}}
on pose W m + W m ′ = Φ . i = N . φ . i {\displaystyle W_{m}+W'_{m}=\Phi .i=N.\varphi .i\,} avec :
dans le cas linéaire = W m = W m ′ = Φ . i / 2 {\displaystyle W_{m}=W'_{m}=\Phi .i/2\,}
Comme le circuit est en mouvement, on a de l'énergie mécanique en plus de l'énergie thermique et l'énergie magnétique.
Donc : d W e = d W t h + d W m e c a + d W m {\displaystyle dW_{e}=dW_{th}+dW_{meca}+dW_{m}\,} , avec :
De plus on néglige les pertes fer et les frottements.
donc on obtient :
comme W n + W m ′ = φ . N . i {\displaystyle W_{n}+W'_{m}=\varphi .N.i\,}