Groupe spécial orthogonal

En mathématiques, le groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique q est un sous-groupe de son groupe orthogonal O(q). Il est constitué des éléments dont le déterminant est +1, en supposant que la forme quadratique est non dégénérée et que la caractéristique du corps de base est différente de 2. Ce sous-groupe, noté SO(q), est donc normal et même d'indice 2 (autrement dit, la composition dans O(q) suit la règle des signes : le composé de deux éléments est dans SO(q) si et seulement si ces éléments sont tous deux dans SO(q) ou tous deux dans son complémentaire).

Sur les réels à n dimensions, on le note couramment ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$, et moins couramment ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {R} )}$, le deuxième paramètre de la notation ${\displaystyle \mathrm {SO} }$ étant le corps de base de ce groupe. On dit aussi que c'est le groupe des matrices de rotations à n dimensions. Les réflexions (par rapport à un hyperplan vectoriel) sont des exemples de transformations orthogonales de déterminant –1 ; la composée d'un nombre pair de telles transformations est une rotation.

Sur un espace vectoriel à n dimensions, les applications linéaires (identifiables aux matrices) forment elles-mêmes un espace à ${\displaystyle n^{2}}$ dimensions, mais parmi celles-ci, le groupe ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ n'a que ${\displaystyle n(n-1)/2}$ degrés de liberté. C'est pourquoi une rotation en 2 dimensions s'exprime par un nombre seul alors que pour une rotation en 3 dimensions, on doit utiliser 3 nombres (voir « Angles d'Euler »).

Groupe spécial orthogonal du plan euclidien

Le groupe spécial orthogonal dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, c'est-à-dire le groupe ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$, est le groupe des rotations vectorielles planes, homéomorphe au cercle unité.

Matriciellement, il s'écrit :

${\displaystyle SO(2)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right|0\leq \theta <2\pi \right\}}$.

Démonstration

Tout endomorphisme de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ peut être représenté par une matrice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )}$.

Cette matrice est orthogonale si et seulement si ses deux colonnes sont des vecteurs unitaires orthogonaux, c'est-à-dire :

${\displaystyle a^{2}+c^{2}=1}$, ${\displaystyle b^{2}+d^{2}=1}$ et ${\displaystyle ab+cd=0}$,

ce qui équivaut à

${\displaystyle a^{2}+c^{2}=1}$ et ${\displaystyle (b,d)=\pm (-c,a)}$.

Pour que cette matrice appartienne non seulement à ${\displaystyle \mathrm {O} (2)}$ mais à ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$, il faut de plus que son déterminant soit égal à 1, c'est-à-dire ${\displaystyle (b,d)=+(-c,a)}$. On a donc bien :

${\displaystyle SO(2)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&-c\\c&a\end{pmatrix}}\right|a,c\in \mathbb {R} ,\quad a^{2}+c^{2}=1\right\}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right|0\leq \theta <2\pi \right\}}$.

Applications en physique

En physique des particules, SO(10) est l'un des groupes proposés pour structurer la grande unification^[1].

Notes et références

1. (en) A. Zee, chap. V.4 « Grand unification », dans Quantum Field Theory, as Simple as Possible, 2023, 372 p. (ISBN 978-0-691-17429-7 et 978-0-69123927-9), p. 258-259.