Groupe opposé

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe opposé est une manière de construire un groupe à partir d'un autre en renversant l'ordre de son opération interne.

Plus précisément, si (G,*) est un groupe, on peut définir une autre opération interne sur G en posant

${\displaystyle g*_{\text{op}}g':=g'*g}$

pour tous éléments g et g' de G. Cela définit un groupe (G,*_op) appelé groupe opposé^[1] du groupe G.

Propriétés

• (G,*) et (G,*_op) ont le même élément neutre.
• Le symétrique d'un élément g de G est le même pour la loi * ou la loi *_op.
• Le groupe opposé du groupe opposé de G est G lui-même.
• Un groupe est égal à son groupe opposé si et seulement s'il est commutatif.
• G est toujours isomorphe à son groupe opposé via l'application g ↦ g^-1 qui est un antiautomorphisme.
• La notion de groupe opposé permet d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.

Voir aussi

• Antimorphisme
• Anneau opposé

Note et référence

1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4, n^o 1; Paris, Hermann, 1970, p. 29.