Gonzalo Pérez de Vargas commence le handball en 1997 au BM Amibal Toledo, club créé de toutes pièces et entrainé par le père d'un camarade de classe[2]. S'il pratique un temps le tennis, il retrouve assez vite le handball en tant que gardien de buts. Le club obtient d'excellents résultats et son talent n'échappe pas aux yeux des recruteurs du FC Barcelone : en 2007 à 16 ans et demi, il prend la direction du centre de formation du club catalan[2]. Il s'impose également dans les sélections jeunes et en , il est élu meilleur gardien de but de l'Euro des moins de 18 ans à Brno en République tchèque[2].
En septembre 2009, il dispute son premier match en Liga ASOBAL, puis, en fin d'année, il est convoqué par Valero Rivera pour participer à la première phase de la préparation de la Roja à l'Euro 2010. Néanmoins, barré à son poste par Danijel Šarić et Johan Sjöstrand, il ne participe qu'à quelques matchs d'une équipe barcelonaise qui remporte le championnat et Ligue des champions.
Il est donc prêté pour deux saisons au BM Granollers, qui, s'il ne possède plus son lustre d'antan, a l'avantage d'être proche de Barcelone. Dès sa première saison, il s'impose comme un des meilleurs gardiens du championnat, mais l'arrivée en 2012 d'Arpad Šterbik ferme la porte à toute éventualité de retour à Barcelone. Mais à Granollers comme dans beaucoup de clubs espagnols, la crise économique affecte durement les finances des clubs. Toujours aussi efficace – il terminera la saison en tant que premier gardien au nombre d'arrêts – il est contacté par le Fenix Toulouse Handball de Jérôme Fernandez, son ancien coéquipier, au début de l'année 2013, le Barça accepte de libérer de Vargas pour un contrat de trois ans[2],[3].
Du fait du départ de Šterbik au Vardar, de Vargas quitte Toulouse après une saison et fait son retour par la grande porte au FC Barcelone[5]. Aux côtés de Danijel Šarić, il réalise de bonnes performances et profite à nouveau du forfait sur blessure de Šterbik pour participer au Championnat du monde 2015 : il s'impose aux dépens de José Manuel Sierra et termine 2emeilleur gardien de la compétition avec 37,45% d'arrêts. Mais les prestations de Pérez de Vargas n'empêchent pas l'élimination de l'Espagne en demi-finale et la défaite dans le match pour la médaille de bronze face à la Pologne.
De retour à Barcelone, il réalise une performance extraordinaire lors du match aller des huitièmes de finale de la Ligue des champions[6] : auteur de 65 % d'arrêts et d'un but, il permet au Barça de s'imposer 31 à 11 sur le terrain des danois d'Aalborg.
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En août 2023, son départ du Barçà est annoncé pour 2025 où il rejoindra le club allemand du THW Kiel[7]. Par la même occasion, il perd son rôle de vice-capitaine[7].
