En mathématiques , la formule de Riemann-von Mangoldt , du nom de Bernhard Riemann et Hans Carl Friedrich von Mangoldt , décrit la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann .
La formule indique que le nombre
N
(
T
)
{\textstyle N(T)}
partie imaginaire supérieure à
0
{\textstyle 0}
T
{\displaystyle T}
N
(
T
)
=
T
2
π π -->
ln
-->
T
2
π π -->
− − -->
T
2
π π -->
+
O
(
ln
-->
T
)
.
{\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\ln {T}).}
Cette formule a été conjecturée par Riemann dans son mémoire Sur le nombre d'amorces inférieures à une ampleur donnée
Backlund[ 1]
T
{\displaystyle T}
2
{\textstyle 2}
|
N
(
T
)
− − -->
(
T
2
π π -->
ln
-->
T
2
π π -->
− − -->
T
2
π π -->
− − -->
7
8
)
|
<
0.137
ln
-->
T
+
0.443
ln
-->
(
ln
T
)
+
4.350.
{\displaystyle \left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0.137\,\ln T+0.443\,\ln(\ln \,T)+4.350.}
La fonction zêta de Riemann possède une infinité de zéros non triviaux.
Si
(
γ γ -->
n
)
n
⩾ ⩾ -->
1
{\displaystyle (\gamma _{n})_{n\geqslant 1}}
suite croissante des parties imaginaires des zéros de la fonction
ξ ξ -->
{\displaystyle \xi }
dans le demi-plan supérieur, alors
γ γ -->
n
∼ ∼ -->
2
π π -->
n
/
ln
n
{\textstyle \gamma _{n}\sim 2\pi \,n/\ln \,n}
n
→ → -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
[ 2] [ 3]
γ γ -->
n
+
1
− − -->
γ γ -->
n
→ → -->
0.
{\displaystyle \gamma _{n+1}-\gamma _{n}\rightarrow 0.}
Voir aussi
Harold Edwards , Riemann's zeta function , vol. 58, New York-London, Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics », 1974 (ISBN 0-12-232750-0 zbMATH 0315.10035 Aleksandar Ivić, The theory of Hardy's Z -function , vol. 196, Cambridge, Cambridge University Press , coll. « Cambridge Tracts in Mathematics », 2013 (ISBN 978-1-107-02883-8 zbMATH 1269.11075 S. J. Patterson , An introduction to the theory of the Riemann zeta-function , vol. 14, Cambridge, Cambridge University Press , coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 1988 (ISBN 0-521-33535-3 zbMATH 0641.10029
↑ (de) R. J. Backlund , « Über die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion », Acta Mathematica vol. 41, no 0, 1916 , p. 345–375 (ISSN 0001-5962 DOI 10.1007/BF02422950 lire en ligne , consulté le 9 février 2020 ) ↑ Tenenbaum, Gérald , Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres (quatrième édition mise à jour) , Belin, dl 2015 (ISBN 978-2-7011-9656-5 2-7011-9656-6 OCLC 933777932 lire en ligne ) , pp. 241-251↑ J. E. Littlewood , « On the zeros of the Riemann zeta-function », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 22, no 3, 20 septembre 1924 , p. 295–318 (ISSN 0305-0041 1469-8064 DOI 10.1017/s0305004100014225 lire en ligne , consulté le 9 février 2020 ) 
