Fonction concave

La fonction représentée à gauche est concave ; celle de droite est convexe.

En mathématiques, une fonction ${\displaystyle f}$ est dite concave lorsque la fonction opposée ${\displaystyle -f}$ est convexe.

Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« ensemble concave » est moins naturelle. On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un épigraphe convexe (les fonctions concaves ont un hypographe convexe). C'est pourquoi l'analyse convexe existe en tant que discipline des mathématiques, mais pas l'« analyse concave ».

Définitions

Définition — une fonction ${\displaystyle f}$ est dite concave lorsque la fonction opposée ${\displaystyle -f}$ est convexe.

Exemple de fonction concave. Tout segment joignant deux points de la courbe se situe sous la courbe.

Cette définition est équivalente à la définition suivante :

Définition — Une fonction ${\displaystyle f}$ d'un intervalle réel ${\displaystyle I}$ vers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est dite concave lorsque, pour tous ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ de ${\displaystyle I}$ et tout ${\displaystyle t}$ dans ${\displaystyle [0;1]}$ on a :

${\displaystyle f(t\,x_{1}+(1-t)\,x_{2})\geq t\,f(x_{1})+(1-t)\,f(x_{2}).}$

Cette définition traduit le fait qu'un segment joignant deux points de la courbe représentative de ${\displaystyle f}$ est toujours situé sous cette courbe.

Cas des fonctions dérivables

On dispose de deux caractérisations :

Proposition — Soit ${\displaystyle f}$ une fonction dérivable sur un intervalle ${\displaystyle I}$.

• ${\displaystyle f}$ est concave si et seulement si sa courbe représentative est en dessous de chacune de ses tangentes ;
• ${\displaystyle f}$ est concave si et seulement si sa dérivée est décroissante sur ${\displaystyle I}$.

On déduit de la seconde caractérisation :

• que toute fonction concave et dérivable (sur un intervalle réel) est de classe C^1[1] ;
• le corollaire suivant, fort pratique pour vérifier sans mal la concavité d'exemples spécifiques :

Corollaire — Soit ${\displaystyle f}$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ${\displaystyle I}$. ${\displaystyle f}$ est concave si et seulement si sa dérivée seconde ${\displaystyle f^{\prime \prime }}$ est à valeurs négatives ou nulles.

Exemple de fonctions concaves

Exemples de fonctions réelles concaves.

Parmi les fonctions concaves simples, on peut citer évidemment par définition les opposées des fonctions réelles convexes, par exemple :

• ${\displaystyle x\to -x^{n}}$ avec ${\displaystyle n}$ un entier pair ;
• ${\displaystyle x\to -\exp(x)}$ (opposée de la fonction exponentielle).

Citons également certaines réciproques de fonctions convexes, par exemple sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ :

• la fonction logarithme népérien ${\displaystyle x\to \ln x}$ ;
• la fonction puissance ${\displaystyle x\to x^{a}}$ si ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$ ; par exemple la fonction racine carrée ${\displaystyle x\to {\sqrt {x}}=x^{1/2}}$.

De manière plus générale, les fonctions deux fois dérivables dont la dérivée seconde est toujours négative sont des fonctions concaves. Mais une fonction concave n'est pas nécessairement dérivable, comme en témoigne la fonction ${\displaystyle x\to -|x|}$ (opposée de la valeur absolue).

Article connexe

• Fonction convexe-concave
• Fonction convexe

Références

1. Énoncé dans Jacques Douchet, Analyse : recueil d'exercices et aide-mémoire, vol. 1, PPUR, 2010, 3^e éd. (1^re éd. 2003) (lire en ligne), p. 77 (prop. 5.44) et démontré dans cet exercice corrigé de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle sur Wikiversité. Pour une généralisation aux fonctions convexes d'une variable vectorielle, voir (en) Jean-Paul Penot, Calculus Without Derivatives, coll. « GTM » (n^o 266), 2012 (lire en ligne), p. 202-203.