Fermé (topologie)

En mathématiques, dans un espace topologique E, un fermé est un sous-ensemble de E dont le complémentaire est un ouvert.

Propriétés

• Toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé (y compris l'ensemble vide ∅, qui est — par définition — la réunion de la famille vide).
• Toute intersection d'une famille (finie ou infinie) de fermés est un fermé (y compris l'espace E tout entier, qui est — par convention dans ce contexte^[1] — l'intersection de la famille vide).
• Pour toute partie A de E, l'intersection de tous les fermés contenant A est donc un fermé, appelé l'adhérence de A. C'est le plus petit fermé contenant A. Il est donc réduit à A si et seulement si A est fermé.
• Un espace T1 est un espace dont tous les singletons sont fermés. Tout espace séparé est T1.
• L'espace E est dit connexe si E et ∅ sont ses seules parties à la fois ouvertes et fermées.
• Il peut exister aussi des ensembles qui ne sont ni ouverts, ni fermés, comme l'intervalle [0, 1[ dans ℝ.
• La propriété d'être fermé dépend en général de l'espace ambiant considéré : dans ]–1, 1[ muni de la topologie induite par celle de ℝ, ce même intervalle [0, 1[ est fermé, c'est-à-dire qu'il est la trace sur ]–1, 1[ d'un fermé de ℝ (par exemple [0, 1[ = ]–1, 1[ ∩ [0, + ∞[).
• Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
• F est un fermé si et seulement s'il contient son ensemble dérivé, c'est-à-dire si tout « point limite » (ou « point d'accumulation ») de F est un élément de F.
• La frontière d'un fermé est incluse dans celui-ci.
• Une application f : E → F entre deux espaces topologiques est continue si et seulement si l'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E.

Partie localement fermée

Une partie A de E est dite localement fermée (dans E) si elle possède l'une des propriétés équivalentes suivantes^[2] :

1. tout point de ${\displaystyle A}$ possède dans ${\displaystyle E}$ un voisinage ${\displaystyle V}$ tel que ${\displaystyle A\cap V}$ soit un fermé de ${\displaystyle V}$ (c'est-à-dire tel que ${\displaystyle A\cap V=F\cap V}$ pour au moins un fermé ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle E}$) ;
2. ${\displaystyle A}$ est ouvert dans son adhérence ${\displaystyle {\overline {A}}}$ (c'est-à-dire : ${\displaystyle A=V\cap {\overline {A}}}$ pour au moins un ouvert ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle E}$) ;
3. ${\displaystyle A}$ est l'intersection d'un ouvert et d'un fermé de ${\displaystyle E}$

Démonstration des équivalences

${\displaystyle 2\Rightarrow 3}$ : ${\displaystyle 2}$ implique que ${\displaystyle A}$ est l'intersection d'un ouvert de ${\displaystyle E}$ et du fermé ${\displaystyle {\overline {A}}}$.

${\displaystyle 3\Rightarrow 1}$ : Pour tout ${\displaystyle x\in A}$, on prend pour ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle F}$ un ouvert et un fermé dont ${\displaystyle A}$ est l'intersection.

${\displaystyle 1\Rightarrow 2}$ : Pour tout ${\displaystyle x\in A}$, soit ${\displaystyle V}$ un voisinage de ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle A\cap V}$ soit fermé dans ${\displaystyle V}$. Quitte à remplacer ${\displaystyle V}$ par son intérieur, on peut supposer de plus qu'il est ouvert. Moyennant quoi, ${\displaystyle {\overline {A}}\cap V\subset A}$ (en effet, ${\displaystyle {\overline {A\setminus V}}}$ est alors disjoint de ${\displaystyle V}$ donc ${\displaystyle {\overline {A}}\cap V}$ est réduit à ${\displaystyle {\overline {A\cap V}}\cap V=A\cap V}$, l'adhérence relative de ${\displaystyle A\cap V}$ dans ${\displaystyle V}$). Ceci montre que dans le sous-espace ${\displaystyle {\overline {A}}}$, la partie ${\displaystyle A}$ est voisinage de chacun de ses points donc ouverte.

Notes et références

1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. I.1, aperçu sur Google Livres.
2. Bourbaki, p. I.20 sur Google Livres.

Voir aussi

• Hiérarchie de Borel
• Espace absolument fermé (en) (les plus connus sont les compacts)
• Théorème des fermés emboîtés