Famille presque nulle

En mathématiques, une famille presque nulle est une famille de nombres réels ou complexes telle que la sous-famille de ses termes non nuls est finie.

En particulier, une suite presque nulle est une suite dont tous les termes sont nuls à partir d'un certain rang.

Applications

La notion de famille presque nulle est souvent combinée à l'utilisation des symboles somme et produit indexés par des ensembles infinis. Cela garantit que l'expression obtenue ne contient qu'un nombre fini de termes non-triviaux, et donc que le résultat est bien défini. Par exemple :

• la décomposition en produit de nombres premiers d'un entier naturel n s'écrit ${\displaystyle n=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{k_{p}}}$ où ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ est l'ensemble des nombres premiers positifs et ${\displaystyle (k_{p})_{p\in {\mathcal {P}}}}$ est une famille presque nulle d'entiers naturels,
• un polynôme est une expression de la forme ${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}$ avec ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ une famille presque nulle,
• dans un espace vectoriel, une combinaison linéaire d'une infinité de vecteurs ${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$ est une expression de la forme ${\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}v_{i}}$ avec ${\displaystyle (\lambda _{i})_{i\in I}}$ une famille presque nulle de scalaires,
• en algèbre générale, la définition de somme directe fait également intervenir la notion de famille presque nulle.