Ensemble de sous-niveau

En mathématiques, en particulier en analyse, en analyse convexe, en optimisation et en topologie différentielle (théorie de Morse), un ensemble de sous-niveau d'une fonction définie sur un ensemble ${\displaystyle \mathbb {E} }$ à valeurs dans la droite réelle achevée ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ est l'ensemble des points où elle prend une valeur inférieure à un niveau ${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} }$ donné :

${\displaystyle S_{\nu }(f):=\{x\in \mathbb {E} :f(x)\leqslant \nu \}.}$

Un ensemble de sous-niveau particulier est l'ensemble arg min${\displaystyle _{x\in \mathbb {E} }f(x)}$ des minimiseurs de ${\displaystyle f}$.

Propriétés

• Une fonction définie sur un espace topologique à valeurs dans ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ est fermée (on dit aussi semi-continue inférieurement) si, et seulement si, tous ses ensembles de sous-niveaux sont fermés.
• Une fonction est quasi-convexe si, et seulement si, tous ses ensembles de sous-niveau sont convexes.

Bibliographie

• (en) J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, Springer, New York, 2000
• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2004 (1^re éd. 2001), 259 p. (ISBN 978-3-540-42205-1, lire en ligne)
• (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (n^o 28), 1970 (lire en ligne)