Dominic Bird commence à jouer au rugby dans sa région natale de Hawke's Bay avec le collège de Central Hawkes Bay, suivant ainsi les traces de son père, John, qui a joué avec l'équipe provinciale à 82 reprises entre 1981 et 1992[4]. Dominic joue aussi avec les équipes des moins de 18 ans et moins de 20 ans de Hawke's Bay[4].
En 2009, il part dans la région de Canterbury pour suivre des études de gestion environnementale avec la Lincoln University[5]. Il poursuit ensuite sa formation rugbystique avec la province de Canterbury, et fait ses débuts professionnels en NPC en 2011[1].
Dès 2011 également, il joue avec l'équipe de développement (espoir) de la franchise des Crusaders, avec qui il joue pendant deux saisons[1].
En 2013 il est promu dans l'effectif des Crusaders pour disputer le Super Rugby[6]. Avec cette équipe, il dispute 31 matchs en trois saisons, malgré la concurrence des All BlacksSam Whitelock et Luke Romano à son poste[2],[4].
À la recherche de plus de temps de jeu, il signe un contrat de deux saisons avec les Chiefs en 2016, où il s'impose comme un titulaire indiscutable en deuxième ligne aux côtés de l'international Brodie Retallick[1],[7]. En 2017, il est titulaire lors du match opposant sa franchise aux Lions britanniques, match qui se termine par une défaite (34-6)[8]. Il prolonge ensuite son contrat pour une saison supplémentaire, mais ne joue qu'une seule rencontre en 2018 après une blessure à l'épaule[9],[10].
En , il décide de rejoindre le Top 14 et plus particulièrement le Racing 92[11]. Il joue trois saisons avec le club francilien, avec qui il est finaliste de Coupe d'Europe en 2020[2],[12]. En , bien qu'il ait récemment prolongé son contrat, il demande à être libéré de son contrat au terme de la saison pour des raisons personnelles, et retourne vivre en Nouvelle-Zélande[13],[14].
De retour dans son pays natal, il s'engage avec la province de Wellington pour la saison 2021 de NPC, et la franchise des Hurricanes pour la saison 2022 de Super Rugby[15].
En , il est sélectionné pour la première fois par Steve Hansen pour évoluer avec les All Blacks[4]. Il connait sa première cape internationale le à l’occasion d’un match contre l'équipe du Japon à Tokyo[5],[18]. Il devient à cette occasion le plus grand joueur de l'histoire de la sélection nationale, dominant d'un centimètre Mark Cooksley(en)[19]. Il connait sa seconde sélection un an plus tard, contre l'équipe d'Écosse[20].
Après trois années d'absence en sélection en raison de blessures, il fait son retour lors de la tournée de en Europe et joue deux rencontres considérée comme non officielles[Note 1], contre les Barbarians et France XV[21],[22].