Distance ultramétrique

En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble E vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :

${\displaystyle d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))}$.

Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique^[1].

Définition et exemples

Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application ${\displaystyle d:\mathrm {E} \times \mathrm {E} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ vérifiant les propriétés suivantes :

Nom	Propriété
symétrie	${\displaystyle \forall x,y\in \mathrm {E} ,\ d(x,y)=d(y,x)}$
séparation	${\displaystyle \forall x,y\in \mathrm {E} ,\ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$
inégalité ultratriangulaire[2]	${\displaystyle \forall x,y,z\in \mathrm {E} ,\ d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))}$

Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'inégalité triangulaire). Cela implique en particulier que tout triangle est isocèle et la base est le plus petit des côtés.

Distance triviale

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par:

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=y\\1&{\text{si }}x\neq y\end{cases}}}$

L'inégalité

${\displaystyle d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))}$

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

Distance p-adique sur l'ensemble ℚ

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique ${\displaystyle v_{p}(r)}$ de tout nombre rationnel r non nul.

On prouve facilement que cette application vérifie

${\displaystyle v_{p}(r+r')\geq \inf(v_{p}(r),v_{p}(r'))}$ et ${\displaystyle v_{p}(-r)=v_{p}(r).}$

On définit alors la distance p-adique sur ℚ par :

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=y\\p^{-v_{p}(x-y)}&{\text{si }}x\neq y\end{cases}}}$

La propriété précédente de ${\displaystyle v_{p}}$ conduit facilement à l'inégalité ultramétrique. Les deux autres vérifications sont aisées.

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur ℚ^[3].

Autres exemples

• Soient X un ensemble quelconque et E = X^ℕ l'ensemble des suites à valeurs dans X. On munit E d'une structure d'espace ultramétrique complet en posant${\displaystyle k(x,y)=\inf\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}\neq y_{n}\}}$ (autrement dit : ${\displaystyle k(x,x)=+\infty }$ et si ${\displaystyle x\neq y}$, ${\displaystyle k(x,y)}$ est le rang du premier terme où les deux suites diffèrent), puis${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{1+k(x,y)}}}$^[4],[5]ou encore, pour un réel ${\displaystyle a>1}$ arbitraire :${\displaystyle d_{a}(x,y)=a^{-k(x,y)}}$^[6],qui est une distance uniformément équivalente à ${\displaystyle d}$.Pour X = {0, 1}, on obtient l'espace de Cantor et pour X = ℕ, l'espace de Baire.
• En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.^{[réf. souhaitée]}

Propriétés

Voici quelques propriétés^[7] d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

• Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre :

  ${\displaystyle B(a,r)\cap B(a',r')\neq \varnothing {\text{ et }}r\leq r'\Rightarrow B(a,r)\subset B(a',r')}$.

• Tout point d'une boule en est un centre :

  ${\displaystyle \forall x\in B(a,r)\quad B(x,r)=B(a,r)}$.

• Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus :

  Toute boule fermée de rayon non nul est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.

  Par conséquent, tout espace topologique ultramétrisable est de dimension nulle donc totalement discontinu, c'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.

• Étant donné trois points, les deux plus proches sont à la même distance du troisième, autrement dit : « tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux^[8] », ce qui s'écrit aussi :

  ${\displaystyle d(x,y)\neq d(y,z)\Rightarrow d(x,z)=\max(d(x,y),d(y,z))}$.

• Pour qu'une suite ${\displaystyle (x_{n})}$ soit de Cauchy, il suffit que ${\displaystyle d(x_{n},x_{n+1})\to 0.}$

Application

Soit X un ensemble muni d'une distance ultramétrique d, et soit r un nombre positif. L'ensemble des boules de rayon r définies sur X constitue une partition de X. En faisant croître r à partir de 0, on forme une chaîne de finesse entre ces partitions, de la plus fine (partition discrète pour r = 0) à la moins fine (partition universelle pour r maximal). C'est une des bases de la classification automatique par regroupement hiérarchique^[9].

Voir aussi

• Norme ultramétrique
• Valeur absolue ultramétrique

Notes et références

1. Cette notion a été introduite par Marc Krasner, « Nombres semi-réels et espaces ultramétriques », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 219, n^o 2,‎ 1944, p. 433-435 (lire en ligne), qui signale : « Les seuls espaces ultramétriques considérés jusqu'à présent semblent être les corps et les algèbres valués ».
2. Modèles dyadiques, Terence Tao, 27 Juillet 2007 : https://terrytao.wordpress.com/2007/07/27/dyadic-models/
3. Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques ; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, p. 652-653.
4. Rectification du problème 1.b de Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions], chap. III, § 14, aperçu de l'édition en anglais sur Google Livres.
5. En particulier, ${\displaystyle d(x,x)={\frac {1}{1+\infty }}=0}$.
6. En particulier, ${\displaystyle d(x,x)=a^{-\infty }=0}$.
7. Pour leur démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
8. (en) Emil Artin, Algebraic Numbers and Algebraic Functions, AMS, 1967, 349 p. (ISBN 978-0-8218-4075-7, lire en ligne), p. 44.
9. I. C. Lerman, Les bases de la classification automatique, Gauthier-Villars, 1970.