David Kelly naît dans le quartier dublinois de Goatstown(en), il est le fils d'un éditeur[1]. Durant son enfance, il est scolarisé à Synge Street(en), une école catholique de Dublin. Il y découvre la scène grâce à l'un de ses professeurs, membre de la troupe Rathmines and Rathgar Musical Society[2],[3]. Il commence à se produire au Gaiety Theatre à l'âge de 8 ans[4].
Durant les années 1960 et 1970, David Kelly apparaît dans des sitcoms britanniques, telles que Never Mind the Quality, Feel the Width(en) et On the Buses(en), dans lesquelles il tient des rôles d'irlandais eccentrique. Il figure dans 50 épisodes de Robin's Nest(en), une série mettant en vedette Richard O'Sullivan. En 1975, il apparaît brièvement sous les traits d'un ouvrier du bâtiment dans la série britannique L'Hôtel en folie (Fawlty Towers). Selon lui, ce personnage a fait beaucoup pour sa notoriété. En 1980, il interprète « Rashers » Tierney dans la mini-série de la RTÉStrumpet City(en), diffusée par la suite dans une cinquantaine de pays[2],[5]. Le rôle restera l'un de ses préférés. Par la suite, Kelly joue dans les séries téléviséesGlenroe, diffusée sur RTÉ One, et Ballykissangel(en), produite par la BBC[4].
David Kelly est marié à l'actrice Laurie Morton, qu'il rencontre en 1956 en effectuant un remplacement au Pike Theatre de Dublin. Le couple, qui a toujours résidé dans la région de Dublin, a deux enfants. Leur fils David fait carrière dans la publicité, leur fille Miriam est actrice[3].
En 2005, l'acteur est récompensé lors de la 3e cérémonie(en) des Irish Film and Television Awards dans la catégorie « Meilleur acteur dans un second rôle » pour son rôle dans le film Charlie et la Chocolaterie. Lors de la soirée, il reçoit également un prix récompensant l'ensemble de sa carrière (Lifetime Achievement Award)[5].
