Cosinus hyperbolique réciproque

Courbe représentative de la fonction arcosh.

Le cosinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction cosinus hyperbolique réciproque, ou argument cosinus hyperbolique^[1], notée arcosh^[2] (ou argch^[3]),

${\displaystyle \operatorname {arcosh} :\left[1,+\infty \right[\to \mathbb {R} +}$

est définie à l'aide du cosinus hyperbolique par :

${\displaystyle y=\operatorname {arcosh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\cosh y\;{\text{ et }}\;y\geq 0}$.

Propriétés

Cette fonction est injective et son image est ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$. Elle est continue, strictement croissante et concave.

Sa valeur en 1 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.

Elle est dérivable sur ]1, +∞[ et sa dérivée est donnée par :

${\displaystyle \forall x>1\quad \operatorname {arcosh} 'x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$.

On en déduit la primitive de arcosh qui s'annule en 1 :

${\displaystyle \forall x\geq 1\quad \int _{1}^{x}\operatorname {arcosh} u\,\mathrm {d} u=x\operatorname {arcosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}}$.

La composée de arcosh par la fonction sinus hyperbolique est donnée par :

${\displaystyle \forall x\geq 1\quad \sinh \left(\operatorname {arcosh} x\right)={\sqrt {x^{2}-1}}}$.

Par conséquent :

• la fonction arcosh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :

  ${\displaystyle \forall x\geq 1\quad \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$^[4] ;

• la somme et la différence de deux arguments cosinus hyperbolique s'expriment par :

  ${\displaystyle \forall u\geq v\geq 1\quad \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {\left(u^{2}-1\right)\left(v^{2}-1\right)}}\right)}$.

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Cosine », sur MathWorld

Notes et références

1. Daniel Guinin et Bernard Joppin, Analyse MPSI, Bréal, 2003 (lire en ligne), p. 26.
2. Notation recommandée par la norme ISO/CEI 80000-2.
3. André Delachet, Les Logarithmes et leurs applications, Pr. Univ. de France, coll. « Que-Sais-je, n°850 », 1966
4. Pour une preuve plus directe, voir par exemple Argument cosinus hyperbolique sur Wikiversité.