Coordonnées elliptiques

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En géométrie, le système de coordonnées elliptiques est un système de coordonnées orthogonales à deux dimensions, dans lequel les lignes de coordonnées sont des ellipses et des hyperboles confocales. Les deux foyers $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ sont généralement considérés comme fixés à $-a$ et $+a$ , respectivement, sur l'axe des $x$ du système de coordonnées cartésiennes.

Définition

La notation la plus courante des coordonnées elliptiques $(\mu ,\nu )$ est :

{\begin{cases}x=a\;\cosh \mu \;\cos \nu \\y=a\;\sinh \mu \;\sin \nu \end{cases}}

où $\mu$ est un nombre réel positif et $\nu \in [0,2\pi ].$

Sur le plan complexe, une relation équivalente est :

x+\mathrm {i} \,y=a\;\cosh(\mu +\mathrm {i} \,\nu )

.

Ces définitions correspondent aux ellipses et aux hyperboles. L'identité trigonométrique :

{\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1

montre que les courbes à $\mu ={\text{constante}}$ forment des ellipses, tandis que l'identité trigonométrique hyperbolique :

{\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1

montre que les courbes à $\nu ={\text{constante}}$ forment des hyperboles.

Lien avec les coordonnées polaires

Si l'on pose $a=2r\,\mathrm {e} ^{-\mu }$ et qu'on fait tendre $\mu$ vers $+\infty$ , $x$ et $y$ tendent vers $r\cos \nu$ et $r\sin \nu$ : les coordonnées elliptiques tendent vers les coordonnées polaires (de distance radiale $r$ et d'angle polaire $\nu$ ), les ellipses confocales deviennent des cercles concentriques et les hyperboles des droites passant par l'origine.

Facteurs d'échelle

Dans un système de coordonnées orthogonales, les longueurs des vecteurs de base sont appelées facteurs d'échelle. Les facteurs d'échelle pour les coordonnées elliptiques $(\mu ,\nu )$ sont égaux à :

h_{\mu }=h_{\nu }=a\,{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a\,{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}

.

En utilisant les identités à double argument pour les fonctions hyperboliques et les fonctions trigonométriques, les facteurs d'échelle peuvent être exprimés de manière équivalente comme :

h_{\mu }=h_{\nu }=a\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}

.

Par conséquent, un élément infinitésimal de surface est égal à :

\mathrm {d} A=h_{\mu }\,h_{\nu }\,\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu =a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu =a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu

et le laplacien s'écrit :

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)

.

D'autres opérateurs différentiels tels que $\nabla \cdot \mathbf {F}$ et $\nabla \times \mathbf {F}$ peut être exprimé dans les coordonnées $(\mu ,\nu )$ en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées en coordonnées orthogonales.