Système de coordonnées elliptiques
En géométrie , le système de coordonnées elliptiques est un système de coordonnées orthogonales à deux dimensions, dans lequel les lignes de coordonnées sont des ellipses et des hyperboles confocales. Les deux foyers
F
1
{\displaystyle \mathrm {F} _{1}}
et
F
2
{\displaystyle \mathrm {F} _{2}}
sont généralement considérés comme fixés à
− − -->
a
{\displaystyle -a}
et
+
a
{\displaystyle +a}
, respectivement, sur l'axe des
x
{\displaystyle x}
du système de coordonnées cartésiennes .
Définition
La notation la plus courante des coordonnées elliptiques
(
μ μ -->
,
ν ν -->
)
{\displaystyle (\mu ,\nu )}
est :
{
x
=
a
cosh
-->
μ μ -->
cos
-->
ν ν -->
y
=
a
sinh
-->
μ μ -->
sin
-->
ν ν -->
{\displaystyle {\begin{cases}x=a\;\cosh \mu \;\cos \nu \\y=a\;\sinh \mu \;\sin \nu \end{cases}}}
où
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
est un nombre réel positif et
ν ν -->
∈ ∈ -->
[
0
,
2
π π -->
]
.
{\displaystyle \nu \in [0,2\pi ].}
Sur le plan complexe , une relation équivalente est :
x
+
i
y
=
a
cosh
-->
(
μ μ -->
+
i
ν ν -->
)
{\displaystyle x+\mathrm {i} \,y=a\;\cosh(\mu +\mathrm {i} \,\nu )}
.
Ces définitions correspondent aux ellipses et aux hyperboles. L'identité trigonométrique :
x
2
a
2
cosh
2
-->
μ μ -->
+
y
2
a
2
sinh
2
-->
μ μ -->
=
cos
2
-->
ν ν -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
montre que les courbes à
μ μ -->
=
constante
{\displaystyle \mu ={\text{constante}}}
forment des ellipses , tandis que l'identité trigonométrique hyperbolique :
x
2
a
2
cos
2
-->
ν ν -->
− − -->
y
2
a
2
sin
2
-->
ν ν -->
=
cosh
2
-->
μ μ -->
− − -->
sinh
2
-->
μ μ -->
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
montre que les courbes à
ν ν -->
=
constante
{\displaystyle \nu ={\text{constante}}}
forment des hyperboles .
Lien avec les coordonnées polaires
Si l'on pose
a
=
2
r
e
− − -->
μ μ -->
{\displaystyle a=2r\,\mathrm {e} ^{-\mu }}
et qu'on fait tendre
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
vers
+
∞ ∞ -->
{\displaystyle +\infty }
,
x
{\displaystyle x}
et
y
{\displaystyle y}
tendent vers
r
cos
-->
ν ν -->
{\displaystyle r\cos \nu }
et
r
sin
-->
ν ν -->
{\displaystyle r\sin \nu }
: les coordonnées elliptiques tendent vers les coordonnées polaires (de distance radiale
r
{\displaystyle r}
et d'angle polaire
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
), les ellipses confocales deviennent des cercles concentriques et les hyperboles des droites passant par l'origine.
Facteurs d'échelle
Dans un système de coordonnées orthogonales , les longueurs des vecteurs de base sont appelées facteurs d'échelle. Les facteurs d'échelle pour les coordonnées elliptiques
(
μ μ -->
,
ν ν -->
)
{\displaystyle (\mu ,\nu )}
sont égaux à :
h
μ μ -->
=
h
ν ν -->
=
a
sinh
2
-->
μ μ -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
=
a
cosh
2
-->
μ μ -->
− − -->
cos
2
-->
ν ν -->
{\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a\,{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a\,{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}}
.
En utilisant les identités à double argument pour les fonctions hyperboliques et les fonctions trigonométriques , les facteurs d'échelle peuvent être exprimés de manière équivalente comme :
h
μ μ -->
=
h
ν ν -->
=
a
1
2
(
cosh
-->
2
μ μ -->
− − -->
cos
-->
2
ν ν -->
)
{\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}}
.
Par conséquent, un élément infinitésimal de surface est égal à :
d
A
=
h
μ μ -->
h
ν ν -->
d
μ μ -->
d
ν ν -->
=
a
2
(
sinh
2
-->
μ μ -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
)
d
μ μ -->
d
ν ν -->
=
a
2
(
cosh
2
-->
μ μ -->
− − -->
cos
2
-->
ν ν -->
)
d
μ μ -->
d
ν ν -->
=
a
2
2
(
cosh
-->
2
μ μ -->
− − -->
cos
-->
2
ν ν -->
)
d
μ μ -->
d
ν ν -->
{\displaystyle \mathrm {d} A=h_{\mu }\,h_{\nu }\,\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu =a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu =a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu }
et le laplacien s'écrit :
∇ ∇ -->
2
Φ Φ -->
=
1
a
2
(
sinh
2
-->
μ μ -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
)
(
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
2
+
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
2
)
=
1
a
2
(
cosh
2
-->
μ μ -->
− − -->
cos
2
-->
ν ν -->
)
(
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
2
+
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
2
)
=
2
a
2
(
cosh
-->
2
μ μ -->
− − -->
cos
-->
2
ν ν -->
)
(
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
2
+
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
2
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)}
.
D'autres opérateurs différentiels tels que
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
et
∇ ∇ -->
× × -->
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
peut être exprimé dans les coordonnées
(
μ μ -->
,
ν ν -->
)
{\displaystyle (\mu ,\nu )}
en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées en coordonnées orthogonales .
Voir aussi
Bibliographie
Articles connexes
Nom de la coordonnée
Types de système
A deux dimensions
A trois dimensions