La conjecture jacobienne est également célèbre pour le grand nombre de tentatives de preuves qu'elle a suscitées, et qui contenaient des erreurs subtiles. En 2024, aucune démonstration n'est reconnue pour valide.
Formulation
Pour N > 1, soient N polynômes Fi (pour 1 ≤ i ≤ N) dans les variables X1, …, XN, et dont les coefficients appartiennent à un corps algébriquement closk (on peut en fait supposer que k = C, le corps des nombres complexes). Considérons cette suite de polynômes comme une fonction vectorielle F: kN → kN dont les composantes sont les Fi . Le jacobienJ de F est par définition le déterminant de la matrice jacobienneN × N formée des dérivées partielles des Fi par rapport aux Xj : J est lui-même une fonction des N variables X1, … , XN ; et même une fonction polynomiale.
La condition J ≠ 0 assure (pour des fonctions régulières, et donc en particulier pour des polynômes) l'existence d'un inverse local pour F (c'est le théorème des fonctions implicites) en chaque point où elle est vérifiée. Comme k est algébriquement clos, et que J est un polynôme, J s'annule pour certaines valeurs des X1, …, XN, sauf si J est constante. On en déduit facilement que :
Si F possède une fonction inverse (globale), c'est-à-dire s'il existe G : kN → kN telle que G∘F = F∘G = identité (de kN ), alors J est une constante non nulle.
La conjecture jacobienne affirme que sur tout corps de caractéristique 0, la réciproque (un peu renforcée) suivante est vraie :
Si J est une constante non nulle et si k est un corps de caractéristique 0, alors F admet un inverse G : kN → kN, et G est régulière, c'est-à-dire que ses composantes sont données par des polynômes.
Résultats
En 1980, Wang[1] démontra la conjecture jacobienne pour les polynômes de degré 2, et en 1982, Bass, Connell et Wright[2] démontrèrent que le cas général est conséquence du cas particulier des polynômes de degré 3. La conjecture a été vérifiée par Moh[3] pour les polynômes à deux variables de degré au plus 100.
↑(en) Tzuong-Tsieng Moh, « On the Jacobian conjecture and the configurations of roots », J. reine angew. Math., vol. 340, , p. 140-212 (lire en ligne).
↑(en) Pascal Kossivi Adjamagbo et Arno van den Essen, « A proof of the equivalence of the Dixmier, Jacobian and Poisson conjectures », Acta Math. Vietnam, vol. 32, nos 2-3, , p. 205-214.
