Conducteur en équilibre électrostatique

Un conducteur électrique en équilibre électrostatique est un conducteur qui n'est parcouru par aucun courant.

Dans un milieu conducteur, il y a au moins deux raisons pour lesquelles les charges électriques peuvent se déplacer :

• l'agitation thermique,qui va faire bouger les charges à une certaine vitesse. Néanmoins, puisque ces charges vont toutes se déplacer dans des directions aléatoires, la résultante de la vitesse sera nulle. Ce qui veut dire qu'en moyenne, les charges se déplaceront autour d'un point d'équilibre fixe : tout se passe comme s'il n'y avait pas courant dans le matériau.
• la présence d'un champ électrique, qui va accélérer les charges électriques présentes dans le conducteur et ainsi générer un courant.

Dans un conducteur électrique en équilibre électrostatique, les charges électriques libres, internes au conducteur, sont « immobiles », plus précisément il n'y a pas de flux macroscopique de charges mobiles^[1].

Pour qu'il n'y ait pas de courant dans un conducteur, celui-ci ne doit pas être soumis à un champ électrique. Le champ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ est donc nul à l'intérieur du conducteur.

Démonstration

Supposons ce conducteur ohmique i.e. qu'il vérifie la loi d'Ohm locale. On a donc la loi suivante : ${\displaystyle {\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}_{int}}$.

Vu que, par définition, le conducteur à l'équilibre électrostatique n'est parcouru par aucun courant, la densité de courant en un point du conducteur est nulle, soit : ${\displaystyle {\vec {j}}={\vec {0}}}$. Par conséquent : ${\displaystyle {\vec {E}}_{int}={\vec {0}}}$

 

Conséquences

Un conducteur en équilibre électrostatique est chargé surfaciquement : il n'y a aucune charge à l'intérieur du conducteur. Toutes les charges se répartissent à la surface du matériau.

Démonstration

On suppose connue l'équation de Poisson. Cette équation relie le potentiel électrique ${\displaystyle V({\vec {r}})}$ en un point et la densité de charge ${\displaystyle \rho _{\text{e}}({\vec {r}})}$ en ce point, par la formule suivante :

${\displaystyle \Delta V({\vec {r}})+{\frac {\rho _{\text{e}}({\vec {r}})}{\varepsilon _{\text{d}}}}=0}$

On a montré précédemment que le champ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ est nul dans le conducteur. On peut donc en déduire que le potentiel est constant dans tout le conducteur, puisque ${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\mathrm {grad} }}\ V}$. Le terme ${\displaystyle \Delta V({\vec {r}})}$ est donc nul dans l'équation de Poisson.

Par conséquent, ${\displaystyle {\frac {\rho _{\text{e}}({\vec {r}})}{\varepsilon _{\text{d}}}}=0}$. D'où ${\displaystyle \rho _{\text{e}}({\vec {r}})=0}$.

 

Références

1. José Philippe Pérez, Électromagnétisme - Fondements et applications, chapitre 8, p. 25.

Voir aussi

• Vecteur densité de courant
• Loi d'Ohm

Simulations

• Simulation de plusieurs conducteurs cylindriques parallèles. Université Paris XI