Code CSS

Dans le cadre des codes correcteurs d'erreurs quantiques, les codes CSS, nommés ainsi d'après les initiales de leurs inventeurs Robert Calderbank, Peter Shor^[1] et Andrew Steane (en)^[2], sont un type particulier de code stabilisateur construit à partir de codes classiques avec quelques propriétés spéciales. Un exemple de code CSS est le code de Steane.

Construction

Soient ${\displaystyle C_{1}}$ et ${\displaystyle C_{2}}$ deux codes classiques, de paramètres respectivement ${\displaystyle [n,k_{1}]}$, ${\displaystyle [n,k_{2}]}$, tels que ${\displaystyle C_{2}\subset C_{1}}$ et ${\displaystyle C_{1},C_{2}^{\perp }}$ ont tous deux une distance minimale ${\displaystyle \geq 2t+1}$, où ${\displaystyle C_{2}^{\perp }}$ est le code dual de ${\displaystyle C_{2}}$. On définit alors le code CSS de ${\displaystyle C_{1}}$ sur ${\displaystyle C_{2}}$, noté ${\displaystyle {\text{CSS}}(C_{1},C_{2})}$, comme suit : c'est le code de paramètres ${\displaystyle [n,k_{1}-k_{2},d]}$, avec ${\displaystyle d\geq 2t+1}$ :

${\displaystyle {\text{CSS}}(C_{1},C_{2})=\{{|}x+C_{2}\rangle \mid x\in C_{1}\}}$ ,

où, pour ${\displaystyle x\in C_{1}}$ , on définit :

${\displaystyle {|}x+C_{2}\rangle :=}$${\displaystyle 1/{\sqrt {{|}C_{2}{|}}}}$${\displaystyle \sum _{y\in C_{2}}{|}x+y\rangle }$,

et où ${\displaystyle +}$ est l'addition bit à bit modulo 2.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « CSS code » (voir la liste des auteurs).

1. Robert Calderbank et Peter Shor, « Good quantum error-correcting codes exist », Physical Review A, vol. 54, n^o 2,‎ 1996, p. 1098–1105 (DOI 10.1103/PhysRevA.54.1098, arXiv quant-ph/9512032).
2. Andrew Steane, « Multiple-Particle Interference and Quantum Error Correction », Proc. R. Soc. Lond. A, vol. 452, n^o 1954,‎ 1996, p. 2551–2577 (DOI 10.1098/rspa.1996.0136, arXiv quant-ph/9601029).

• Michael A. Nielsen et Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge, 2010, 2^e éd. (ISBN 978-1-107-00217-3, OCLC 844974180)

Liens externes