Clôture normale (théorie des groupes)

En théorie des groupes, la clôture normale d'un sous-ensemble ${\displaystyle S}$ d'un groupe ${\displaystyle G}$ est le plus petit sous-groupe normal de ${\displaystyle G}$ contenant ${\displaystyle S.}$

Définitions équivalentes

• La clôture normale ${\displaystyle \operatorname {cln} _{G}(S)}$ de ${\displaystyle S}$ dans ${\displaystyle G}$ est l'intersection de tous les sous-groupes normaux de ${\displaystyle G}$ contenant ${\displaystyle S}$^[1] :$${\displaystyle \mathrm {cln} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.}$$
• Le sous-groupe ${\displaystyle \operatorname {cln} _{G}(S)}$ est engendré par l'ensemble ${\displaystyle S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}}$ de tous les conjugués dans ${\displaystyle G}$ des éléments de ${\displaystyle S.}$
• On peut donc aussi écrire$${\displaystyle \mathrm {cln} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.}$$

Propriétés

Tout sous-groupe normal est égal à sa clôture normale.

La clôture normale de l'ensemble vide est le sous-groupe trivial^[2].

Il existe d'autres notations pour la clôture normale dans la littérature, comme ${\displaystyle \langle S^{G}\rangle ,}$${\displaystyle \langle S\rangle ^{G},}$${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle _{G}}$ ou ${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.}$

Le dual du concept de clôture normale est celui d'intérieur normal ou cœur, défini comme le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes normaux de ${\displaystyle G}$ contenus dans ${\displaystyle S}$^[3].

Présentation de groupe

Pour un groupe donné par une présentation ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$ avec des générateurs ${\displaystyle S}$ et des relations ${\displaystyle R,}$ il est équivalent de définir ${\displaystyle G}$ comme le groupe quotient ${\displaystyle G=F(S)/\mathrm {cln} _{F(S)}(R),}$ où ${\displaystyle F(S)}$ est un groupe libre sur ${\displaystyle S}$^[4].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Normal closure (group theory) » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Derek F. Holt, Bettina Eick et A. O'Brien, Handbook of Computational Group Theory, CRC Press, 2005 (ISBN 1-58488-372-3, lire en ligne), p. 14.
2. (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], p. 32.
3. (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 16.
4. (en) Roger C. Lyndon et Paul E. Schupp, Combinatorial Group Theory, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Classics in Mathematics », 2001 (lire en ligne), p. 87.