Cercles d'Archimède

En géométrie, les cercles d’Archimède sont deux cercles de même aire construits à l’intérieur d’un arbelos. Ils apparaissent dans le Livre des lemmes, attribué à l’époque médiévale au mathématicien grec Archimède, d’où leur nom.

Cercles jumeaux d'Archimède

Cercles jumeaux d'Archimède avec le plus petit cercle les contenant

On considère un arbelos formé par un demi-cercle de diamètre [AB] , et deux demi-cercles de diamètres [AM] et [MB] (M étant un point du segment [AB]).

Le segment [MC] est la demi-corde perpendiculaire à (AB) passant par M.

Les cercles d'Archimède sont les cercles à la fois tangents à la droite (MC), au demi-cercle de diamètre [AB], et au demi-cercle de diamètre [AM] pour l'un, et au demi-cercle de diamètre [BM] pour l'autre.

Archimède prouve^[1] dans son livre des lemmes que ces deux cercles ont même diamètre.

Ce diamètre d peut s'exprimer à l'aide des rayons ou des diamètres des trois demi-cercles formant l'arbelos par la relation^[2] :${\displaystyle d={\frac {AM\times MB}{AB}}.}$Les distances entre les centres de ces cercles et la droite (AB) sont données par les formules ${\displaystyle {\sqrt {AM\times d}}}$ pour le centre du cercle tangent au cercle de diamètre [AM] et ${\displaystyle {\sqrt {BM\times d}}}$ pour l'autre^[3].

Le plus petit cercle contenant les deux cercles jumeaux a un diamètre de longueur ${\displaystyle CM={\sqrt {AM\times BM}}}$ et a la même aire que celle de l'arbelos^[3].

Autres cercles d'Archimède

Cercle de Bankoff

Cercle de Schoch

Les cercles jumeaux d'Archimède ne sont pas les seuls cercles de cette taille que l'on peut découvrir dans l'arbelos. En 1974, Leon Bankoff fait observer que les cercles jumeaux font en réalité partie d'un triplet^[4], ajoutant à ces deux cercles le cercle passant par M et par les points de tangence du cercle inscrit dans l'arbelos^[5]. En 1979, Thomas Schoch présente d'autres cercles de cette taille^[6] dont le cercle tangent à la fois au demi-cercle de diamètre [AB], et aux cercles de centres A et B de rayons AM et BM^[7]

En 1999, c'est une multitude de cercles de ce genre qui sont présentés par Clayton W. Dooge, Thomas Schoch, Peter Y. Woo, Paul Yiu^[8].

En 1831, on trouve deux cercles d'Archimède dans un Sangaku proposé par Nagata. Ces deux cercles portent les numéros W6 et W7 dans ^[6]. Un autre cercle d'Archimède est également évoqué dans un Sangaku proposé en 1853 par Ootoba ^[9].

Notes et références

1. Livre des lemmes : proposition V, traduction de F. Peyrard, numérisée par Marc Szwajcer
2. Baptiste Gorin, Une étude de l'arbelos, p.3, prop. II.1.
3. Baptiste Gorin, Une étude de l'arbelos, p.6, prop. II.3.
4. Leon Bankoff, Are the twin circles of Archimedes really twins ?, Mathematics Magazine, vol.47, n°4, sept. 1974
5. Pour une démonstration, on peut consulter Baptiste Gorin, Une étude de l'arbelos, p.21
6. Clayton W. Dooge, Thoas Schoch, Peter Y. Woo, Paul Yiu, Those Ubiquitous Archimedian Circles, p. 204
7. Pour une démonstration voir, par exemple, Ross Honsberger, Mathematical Delights, p 29 ou Baptiste Gorin, Une étude de l'arbelos, p.13
8. Clayton W. Dooge, Thomas Schoch, Peter Y. Woo, Paul Yiu, Those Ubiquitous Archimedian Circles, Mathematics Magazine, vol.72, n°3, Juin 1999
9. Hiroshi Okumura, Sangaku Journal of Mathematics, vol. 3, 4 novembre 2019, 119–122 p. (ISSN 2534-9562, lire en ligne), « Remarks on Archimedean circles of Nagata and Ootoba »

Liens externes

• (en) Online catalogue of Archimedean circles