Cercle mixtilinéaire d'un triangle

Cercle ${\displaystyle A}$-mixtilinéaire inscrit dans un triangle ${\displaystyle ABC}$

En géométrie, un cercle mixtilinéaire d'un triangle est un cercle tangent à deux de ses côtés et intérieurement tangent à son cercle circonscrit. Chaque triangle a trois cercles mixtilinéaires uniques, correspondant à chaque sommet du triangle.

Existence et unicité

On prouve l'existence d'un seul des trois cercles mixtilinéaires par symétrie. Le cercle A-exinscrit (tangent extérieurement au côté BC) du triangle ${\displaystyle ABC}$ est unique.

Soit ${\displaystyle \Phi }$ la composée de l'inversion de pôle A et de rapport ${\displaystyle {\sqrt {AB\cdot AC}}}$, et de la réflexion par rapport à la bissectrice en A. ${\displaystyle \Phi }$ échange les sommets B et C et échange le centre du cercle inscrit avec le centre du cercle A-exinscrit. Puisque l'inversion et la réflexion sont bijectives et conservent les points de contact, ${\displaystyle \Phi }$ fait de même. Ainsi, l'image du cercle A-exinscrit sous ${\displaystyle \Phi }$ est un cercle tangent intérieurement aux côtés AB, AC et au cercle circonscrit de ABC, c'est un cercle A-mixtilinéaire inscrit.

La même application ${\displaystyle \Phi }$ appliquée à un cercle mixtilinéaire associé au sommet A montre qu'il est unique^[1].

Construction

1. On construit d'abord le centre inscrit ${\displaystyle I}$ par intersection des bissectrices.
2. La droite passant par ${\displaystyle I}$ perpendiculaire à ${\displaystyle AI}$ intersecte ${\displaystyle AB}$ et ${\displaystyle AC}$ aux points ${\displaystyle D}$ et ${\displaystyle E}$ respectivement. Ce sont les points de tangence du cercle mixtilinéaire.
3. Les perpendiculaires à ${\displaystyle AB}$ et ${\displaystyle AC}$ passant par les points ${\displaystyle D}$ et ${\displaystyle E}$ respectivement se croisent en un point noté ${\displaystyle O_{A}}$, qui est le centre du cercle mixtilinéaire.

Cette construction est possible, avec le lemme suivant :

Lemme — Le centre du cercle inscrit est le milieu des points de contact du cercle mixtilinéaire aux deux côtés du triangle.

Construction du cercle mixtilinéaire.

Démonstration

Soit ${\displaystyle \Gamma }$ le cercle circonscrit du triangle ${\displaystyle ABC}$ et ${\displaystyle T_{A}}$ le point de tangence du ${\displaystyle A}$-cercle mixtilinéaire ${\displaystyle \color {red}{\Omega _{A}}}$ avec ${\displaystyle \Gamma }$. Soit ${\displaystyle X\neq T_{A}}$ l'intersection de ${\displaystyle T_{A}D}$ avec ${\displaystyle \Gamma }$ ; ${\displaystyle Y\neq T_{A}}$ l'intersection de ${\displaystyle T_{A}E}$ avec ${\displaystyle \Gamma }$. L'homothétie de centre ${\displaystyle T_{A}}$ entre ${\displaystyle \color {red}{\Omega _{A}}}$ et ${\displaystyle \Gamma }$ implique que ${\displaystyle X,Y}$ sont les milieux de ${\displaystyle \Gamma }$ arcs ${\displaystyle AB}$ et ${\displaystyle AC}$ respectivement. Le théorème de l'angle inscrit implique que ${\displaystyle X,I,C}$ et ${\displaystyle Y,I,B}$ sont des triplets colinéaires. Le théorème de Pascal appliqué à l'hexagone ${\displaystyle XCABYT_{A}}$ inscrit dans ${\displaystyle \Gamma }$ implique que ${\displaystyle D,I,E}$ sont colinéaires. Or les angles ${\displaystyle \angle {DAI}}$ et ${\displaystyle \angle {IAE}}$ sont égaux, il s'ensuit que ${\displaystyle I}$ est le milieu du segment ${\displaystyle DE}$^[1],[2].

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Quelques propriétés

Rayon

La formule suivante relie le rayon ${\displaystyle r}$ du cercle inscrit et du rayon ${\displaystyle \rho _{A}}$ du cercle ${\displaystyle A}$-mixtilinéaire d'un triangle ${\displaystyle ABC}$ :$${\displaystyle r=\rho _{A}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}$$où ${\displaystyle \alpha }$ est la mesure de l'angle en ${\displaystyle A}$^[3].

Relation aux points sur le cercle circonscrit

• La droite ${\displaystyle T_{A}I}$ coupe l'arc ${\displaystyle BC}$ en son milieu^[4],[5].
• Le quadrilatère ${\displaystyle T_{A}XAY}$ est harmonique, ce qui signifie que ${\displaystyle T_{A}A}$ est une symédiane du triangle ${\displaystyle XT_{A}Y}$^[1].

Cercles liés au point de tangence avec le cercle circonscrit

${\displaystyle T_{A}BDI}$ et ${\displaystyle T_{A}CEI}$ sont deux quadrilatères cycliques^[4].

Relation entre les trois cercles mixtilinéaires

Cercles mixtrilinéaires inscrits d'un triangle

Les trois droites ${\displaystyle T_{A}A}$, ${\displaystyle T_{B}B}$ et ${\displaystyle T_{C}C}$ concourent en un point^[3], son nombre de Kimberling est X(56)^[6]. Il est défini par des coordonnées trilinéaires ${\displaystyle {\frac {a}{c+a-b}}:{\frac {b}{c+a-b}}:{\frac {c}{a+b-c}}}$ et coordonnées barycentriques ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{c+a-b}}:{\frac {b^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c^{2}}{a+b-c}}}$ .

Cercles mixtrilinéaires exinscrits d'un triangle

Le centre radial des trois cercles inscrits mixtilignes est un point ${\displaystyle J}$ qui divise ${\displaystyle OI}$ avec rapport$${\displaystyle OJ:JI=2R:-r}$$où ${\displaystyle I,r,O,R}$ sont respectivement les centres et rayons des cercles inscrit et circonscrit^[5].

Voir aussi

• Cercle inscrit d'un triangle
• Problème des contacts

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mixtilinear circle » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Jafet Baca, « On Mixtilinear Incircles » (consulté le 27 octobre 2021)
2. Jean-Louis Aymé, « Gaston Albert Gohierre de Longchamps dans les journaux scientifiques » [archive] [PDF]
3. (en) Paul Yui, « Mixtilinear Incircles », The American Mathematical Monthly, vol. 106, n^o 10,‎ 23 avril 2018, p. 952–955 (DOI 10.1080/00029890.1999.12005146, lire en ligne, consulté le 27 octobre 2021)
4. (en) Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads, United States of America, MAA, 2016, 68 p. (ISBN 978-1-61444-411-4)
5. (en) Khoa Lu Nguyen et Juan Carlos Salazar, « On Mixtilinear Incircles and Excircles », 2006 (consulté le 16 mars 2023), p. 1-6
6. (en) « ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS », faculty.evansville.edu (consulté le 31 octobre 2021)