Bialgèbre

En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres.

Définition

Si ${\displaystyle k}$ est un corps, une bialgèbre est un ${\displaystyle k}$-espace vectoriel ${\displaystyle B}$ muni de quatre applications linéaires :

• un produit ${\displaystyle \mu :B\otimes B\longrightarrow B}$,
• une unité ${\displaystyle \eta :k\longrightarrow B}$,
• un coproduit ${\displaystyle \Delta :B\longrightarrow B\otimes B}$,
• une counité ${\displaystyle \epsilon :B\longrightarrow k}$.

telles que ${\displaystyle (B,\mu ,\eta )}$ soit une algèbre et ${\displaystyle (B,\Delta ,\epsilon )}$ une coalgèbre, et qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

1. ${\displaystyle \Delta }$ et ${\displaystyle \epsilon }$ sont des morphismes d'algèbres.
2. ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \eta }$ sont des morphismes de coalgèbres.

Motivations

La notion de bialgèbre intervient surtout dans l'étude des algèbres de Hopf qui sont des bialgèbres particulières.