Anton Korobov reçut le titre de maître international en 2001. En 2002, il remporta le championnat d'Ukraine, puis il devint grand maître international l'année suivante (2003). En 2004, Korobov finit deuxième du championnat d'Ukraine derrière Andriï Volokitine. En 2009 et 2010, il remporta le tournoi open de Pardubice. En 2010, il finit deuxième de l'open Aeroflot, un demi-point derrière Lê Quang Liêm.
En 2012, il finit premier ex æquo de l'open Aeroflot (deuxième-troisième après départage) et remporta le championnat d'Ukraine (deuxième titre après celui de 2002) et la coupe AICF-AAI à New Delhi.
Il gagne le championnat d'Europe de blitz à Varsovie en 2013[2].
Anton Korobov a représenté l'Ukraine lors de l'Olympiade d'échecs de 2014. Il jouait au quatrième échiquier et l'équipe d'Ukraine finit sixième de la compétition[5]. Lors de l'Olympiade d'échecs de 2016, il marqua 7 points sur 9 (quatrième place au quatrième échiquier) et remporta la médaille d'argent par équipe[6].
Lors de l'Olympiade d'échecs de 2018, il marqua 6,5 points en 8 parties à l'échiquier de réserve (meilleure performance de son équipe), remportant la médaille d'or individuelle à l'échiquier de réserve (l'Ukraine finit dixième)[7],[8].
Il a participé au championnat du monde d'échecs par équipes en 2013 et 2017, remportant la médaille d'argent par équipe et la médaille d'or individuelle au deuxième échiquier en 2013.
Il a remporté trois coupes d'Europe des clubs d'échecs : la première fois en 2014 avec le SOCAR Bakou, puis en 2015 et 2017 avec le Siberia Novossibirsk.