Dans le cadre de la topologie, une équivalence d'homotopie est un isomorphisme dans la catégorie hTop(en). En particulier, toute équivalence d'homotopie est un quasi-isomorphisme, c'est-à-dire qu'elle induit un isomorphisme en homologie.
Définition
Soient X et Y deux espaces topologiques, on dit qu'ils sont homotopiquement équivalents ou du même type d'homotopie, s'il existe des applications continuesf : X → Y et g : Y → X telles que g ∘ f est homotope à l'application identité idX et f ∘ g est homotope à idY.
Les applications f et g sont appelées des équivalences d'homotopie.
Cette définition s'applique aux applications continues entre espaces topologiques, mais aussi aux morphismes de complexes différentiels.
Un espace contractile est un espace homotopiquement équivalent à un point.
Une partie d'un espace topologique est appelée un rétract faible par déformation[2] si son inclusion est une équivalence d'homotopie. C'est une condition légèrement plus faible que celle d'être un rétract par déformation[2],[3].
