Dessay varttui Saint-Médard-en-Jalles'ssa lähellä Bordeauxia. Hän oli lapsena näyttelijä Natalie Woodin ihailija ja omaksui siksi etunimestään englanninkielisen kirjoitusasun. Myöhemmin hän yksinkertaisti myös sukunimensä kirjoitusasua.[2] Dessay haaveili alun perin tanssijan urasta, mutta opiskeli sitten näyttelemistä ja laulamista Bordeaux'n konservatoriossa. Hän suoritti normaalisti viiden vuoden aikavälillä suoritettavat opinnot yhdessä vuodessa ja valmistui 20-vuotiaana oppilaitoksen ensimmäisen palkinnon saaden. Dessay lauloi lyhyesti Théâtre du Capitole de Toulousen kuorossa. Vuonna 1989 hän kilpaili Ranskan ensimmäisessä Concours des Voix nouvelles -tapahtumassa ja sai toisen palkinnon.[1] Näin Dessay pääsi vuodeksi opiskelemaan Pariisin oopperaan, jossa hän esiintyi Wolfgang Amadeus Mozartin oopperan Il re pastore tuotannossa.[2] Dessay sai sittemmin taideagenttinaan toimineen Thérèse Cédellen huomion ja sai ensimmäiset merkittävät solistiset kiinnityksensä.[1]
Dessay alkoi kärsiä äänen ongelmista kaudella 2001–2002. Hänen esiintymisensä vuosina 2002–2005 olivat ajoittaisempia hänen saadessaan leikkauksen polyyppien poistamiseksi molemmista äänihuulistaan. Kun Dessay aloitti jälleen aktiivisemman esiintymisen, hänen äänensä oli tummunut. Hän omaksui uusia, raskaampia rooleja, kuten Claude DebussynPelléas et Mélisanden nimiroolin, jonka hän tulkitsi arvostetussa tuotannossa Theater an der Wienissä vuonna 2009. Samalla hän alkoi välttää varhaisemmalle uralleen tyypillisiä kevyempiä rooleja.[2] Vuonna 2009 Dessay teki myös ensimmäisen esiintymisensä Violettan roolissa Giuseppe VerdinLa traviatassa. Vuonna 2011 hän teki roolidebyytin Cleopatrana Georg Friedrich HändelinGiulio Cesaressa.[1] Dessay vetäytyi näyttämöltä laulettuaan pääroolin Jules Massenet'n Manonin tuotannossa Toulousessa vuonna 2013.[2]
Dessay teki ensimmäisen levytyssopimuksensa eksklusiivisesti EMI Classicsin kanssa vuonna 1994.[1] Hän on levyttänyt sittemmin Erato Recordsille/Virgin Classicsille ja vuodesta 2017 Sony Classical Recordsille. Näyttämöltä vetäytymisen jälkeen Dessayn levyttämä ohjelmisto on kehittynyt monipuolisemmaksi, sillä hän on levyttänyt myös jazzia, brasilialaista musiikkia ja Great American Songbookin lauluja.[2] Dessayn tekemien kokonaisten oopperalevytysten joukossa on ollut Michel Plassonin johtama EMI Classicsin Lakmén levytys, jossa Dessay lauloi nimiroolin.[1] Vuonna 2021 hän julkaisi ranskalaisesta 1800-luvun ja varhaisen 1900-luvun oopperaohjelmistosta koostuvan kokoelma-albumin Natalie Dessay à l'Opéra.[2]
