LU-hajotelma

LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona.^[1] Tällöin siis matriisi

${\displaystyle M=LU\,}$

missä ${\displaystyle L}$ on alakolmiomatriisi ja ${\displaystyle U}$ yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin ${\displaystyle L}$ diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi ${\displaystyle 3\times 3}$-matriisille LU-hajotelma on siis

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{12}&1&0\\l_{13}&l_{23}&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{bmatrix}}}$

LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.

Käyttö determinantin laskemiseen

LU-hajotelman avulla matriisin ${\displaystyle A\,}$ determinantti saadaan välittömästi, sillä se on matriisin ${\displaystyle U\,}$ diagonaalialkoiden tulo eli

${\displaystyle \det A=\Pi _{i=1}^{n}u_{ii}}$

Käyttö käänteismatriisin laskemiseen

Myös käänteismatriisi saadaan laskettua LU-kehitelmästä helposti ratkaisemalla yhtälöryhmä

${\displaystyle LU{\vec {x}}_{i}={\vec {e}}_{i}}$

missä kukin ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ on pystyrivivektori, jonka i:s alkio on ykkönen ja kaikki muut nollia ja kukin ${\displaystyle {\vec {x}}_{i}}$ on muodostuvan käänteismatriisin i:s pystyrivi.

Katso myös

• QR-hajotelma – toinen yleinen tapa muuntaa matriisi helppojen matriisien tuloksi
• Choleskyn hajotelma – LU-hajotelman kaltainen hajotelma, joka hyödyntää lisäksi matriisin symmetrisyyttä

Lähteet

1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 687–689 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8