Choleskyn hajotelma

Choleskyn hajotelma on matriisihajotelma, joka määritellään seuraavasti: Olkoon ${\displaystyle A}$ mikähyvänsä symmetrinen positiivisesti definiitti ${\displaystyle n\times n}$-matriisi. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen yläkolmiomatriisi ${\displaystyle U}$, jossa on positiivisia alkioita diagonaalilla siten, että ${\displaystyle A=L^{T}L}$, missä ${\displaystyle L^{T}}$ on matriisin ${\displaystyle L}$ transpoosi. Toinen tapa esittää asia on valita yksikäsitteinen yläkolmiomatriisi ${\displaystyle U}$ ja diagonaalimatriisi ${\displaystyle D=d_{i}}$, jolloin Choleskyn hajotelma voidaan kirjoittaa muotoon ${\displaystyle A=U^{T}DU}$. Tällöin siis ${\displaystyle L=D^{\frac {1}{2}}U}$.^[1]

Esimerkki Choleskyn hajotelmasta symmetrisillä reaaliarvoisilla matriiseilla (tyhjät kohdat ovat nollia):

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\begin{array}{*{3}{r}}4&12&-16\\12&37&-43\\-16&-43&98\\\end{array}}\right)&=\left({\begin{array}{*{3}{r}}2&&\\6&1&\\-8&5&3\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{*{3}{r}}2&6&-8\\&1&5\\&&3\\\end{array}}\right)\end{aligned}}}$

ja sama muodossa ${\displaystyle U^{T}DU}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\begin{array}{*{3}{r}}4&12&-16\\12&37&-43\\-16&-43&98\\\end{array}}\right)&=\left({\begin{array}{*{3}{r}}1&&\\3&1&\\-4&5&1\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{*{3}{r}}4&&\\&1&\\&&9\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{*{3}{r}}1&3&-4\\&1&5\\&&1\\\end{array}}\right)\end{aligned}}}$

Lähteet

1. Harville, David, A.: Matrix Algebra From a Statistician's Perspective, s. 229. Springer, 1997.