Kvanttisähködynamiikka

Kvanttisähködynamiikka (QED  < engl. Quantum electrodynamics) tai kvanttielektrodynamiikka on sähkömagnetismin suhteellisuusteoreettinen kvanttikenttäteoria. QED kuvaa sähköisesti varattujen hiukkasten vuorovaikutustapahtumat, jotka tapahtuvat fotonien välityksellä. ^[1] Sitä sanotaan usein "fysiikan helmeksi", koska se kuvaa äärimmäisen tarkasti elektronin anomaalisen magneettimomentin arvon ja vedyn energiatasojen Lambin siirtymän.

Teoriaa QED:stä olivat kehittelemässä Richard Feynman, Julian Schwinger ja Shin’ichirō Tomonaga. ^[2]

Matematiikka

Matemaattisesti kvanttielektrodynamiikan rakenne on abelinen mittakenttäteoria, jonka symmetriaryhmänä toimii U(1) mittaryhmä. Mittakenttä, joka kuljettaa varattujen spin-1/2-kenttien välisen vuorovaikutuksen on sähkömagneettinen kenttä. QED:n Lagrangen tiheys elektronin ja positronin väliselle fotonien kuljettamalle vuorovaikutukselle on muotoa

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.\,}$

missä

${\displaystyle \gamma _{\mu }\,\!}$ ovat Diracin matriiseja.

${\displaystyle \ \psi }$ ja sen Diracin adjointti ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$ ovat kenttiä, jotka esittävät sähköisesti varattuja hiukkasia, erityisesti elektronin ja positronin kentät esitetään Diracin spinoreina.

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\,\!}$ on mittakovariantti derivaatta, missä ${\displaystyle \ e}$ on kytkennän voimakkuus (sama kuin alkeisvaraus),

${\displaystyle \ A_{\mu }}$ on sähkömagneettisen kentän kovariantti nelipotentiaali ja

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\!}$ on sähkömagneettisen kentän tensori.

Eulerin-Lagrangen yhtälöt

Laita D Lagrangen tiheyteen nähdäksesi, että L on

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.\quad \quad (1)\,}$

Tämä Lagrangen tiheys voidaan laittaa Eulerin-Lagrangen yhtälöön

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.\quad \quad \quad \quad \quad (2)\,}$

jotta löydetään QED:n kenttäyhtälöt.

Nämä kenttäyhtälöt ovat

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }-m{\bar {\psi }}\,}$

Laittamalla nämä kaksi takaisin Eulerin-Lagrangen yhtälöön (2), jolloin saadaan

${\displaystyle i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }+e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }+m{\bar {\psi }}=0\,}$

ja kompleksikonjugaatti

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -m\psi =0.\,}$

Jos keskimmäinen termi laitetaan oikealle puolelle, saadaan:

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =e\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi \,}$

Vasemmanpuoleinen on kuten alkuperäinen Diracin yhtälö ja oikeanpuoleinen on vuorovaikutus sähkömagneettisen kentän kanssa.

Yksi tärkeä yhtälö saadaan laittamalla Lagrangen tiheys Eulerin-Lagrangen yhtälöön, tällä kertaa kentälle ${\displaystyle A^{\mu }}$:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0.\quad \quad \quad (3)\,}$

Tällä kertaa kaksi termiä ovat

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,}$

Nämä termit laittamalla takaisin yhtälöön (3) saadaan

${\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,}$

Katso myös

• Kvanttiväridynamiikka

Lähteet

1. Griffths, David: ”2.2”, Introduction to Elementary Particles. Wiley, 1987. ISBN 0-471-60386-4 (englanniksi)
2. Sundresan, M. K.: ”1: Other Theoretical Developments”, Handbook of Particle Physics. CRC Press, 2001. ISBN 0-8493-0215-3 (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Kvanttisähködynamiikka Wikimedia Commonsissa