Szoboszlai siirtyi kotimaansa juniorisarjoista Itävaltaan vuonna 2017. Kaudella 2017–2018 hän pelasi Itävallan toisella sarjatasolla Lieferingin joukkueessa 33 liigaottelua ja teki niissä kymmenen maalia. Toukokuussa 2018 hän pääsi yhdessä ottelussa kentälle myös Itävallan pääsarjassa Red Bull Salzburgin joukkueessa. Syksyllä 2018 hän pelasi Lieferingissä yhdeksän ottelua, joissa hän teki kuusi maalia. Sitten hänet nostettiin pysyvästi Red Bull Salzburgin liigajoukkueeseen ja hän pelasi loppukauden aikana 16 liigaottelua ja teki niissä kolme maalia. Joukkue voitti kauden päätteeksi sekä maan mestaruuden että cupin. Kahdessa ensimmäisessä cup-ottelussaan Szoboszlai teki molemmissa maalin ja pääsi vaihtopelaajana kentälle myös loppuottelussa.[1]
Kaudella 2019–2020 Szoboszlai pelasi Itävallan Bundesliigassa 27 ottelua ja teki niissä yhdeksän maalia, joihin sisältyi hattutemppu kesäkuussa 2020 Sturm Grazia vastaan. Kuudessa cup-ottelussa hän teki kaksi maalia, joista toisen loppuottelussa. Hän voitti jälleen sekä liigamestaruuden että cupin. Kauden 2020–2021 alkupuoliskolla Szoboszlai pelasi 12 liigaottelua ja teki niissä neljä maalia, joista kolme St. Pölteniä vastaan. Cupissa hän teki maalin Rapid Wieniä vastaan.[1]
Vuoden 2021 alussa Szoboszlai siirtyi saksalaisseura RB Leipzigiin. Hän ei pystynyt pelaamaan loppukauden aikana yhtään ottelua lähentäjälihasvamman vuoksi. Kaudella 2021–2022 hän pelasi 31 Saksan Bundesliigan ottelua. Niissä hän teki kuusi maalia ja antoi kahdeksan maalisyöttöä. Mestarien liigassa hän pelasi neljä ottelua ja teki kaksi maalia. Eurooppa-liigassa hän pelasi viisi ottelua. Leipzigin voittamassa Saksan cupissa hän teki alkukierroksilla kaksi maalia. Kaudella 2022–2023 hän toisti Bundesliigassa edelliskauden saldonsa: 31 ottelussa kuusi maalia ja kahdeksan maalisyöttöä. Mestarien liigassa hän pelasi kahdeksan ottelua ja teki yhden maalin. Leipzig voitti jälleen Saksan cupin ja Szoboszlai viimeisteli kaksi maalia välieräottelussa SC Freiburgia vastaan ja yhden maalin loppuottelussa Eintracht Frankfurtia vastaan.[1]
Szoboszlai siirtyi Englannin ValioliiganLiverpooliin 70 miljoonan euron siirtosummalla kesällä 2023. Hän pelasi kaudella 2023–2024 Valioliigassa 33 ottelua, joissa hän teki kolme maalia ja antoi kaksi maalisyöttöä. Valioliigaotteluistaan 25 hän pelasi avauskokoonpanossa. Liverpoolin voittamassa liigacupissa hän pelasi kolme ottelua ja teki niissä kaksi maalia mutta oli reisivamman vuoksi poissa välieristä ja loppuottelusta. Eurooppa-liigassa hän pelasi seitsemän ottelua ja teki maalin neljännesvälierissä Sparta Prahaa vastaan sekä vieras- että kotikentällä.[1]
Maajoukkueura
Szoboszlai on pelannut useissa Unkarin juniorimaajoukkueissa. Unkarin A-maajoukkueessa hän pelasi ensimmäisen ottelunsa maaliskuussa 2019 EM-karsinnassa Slovakiaa vastaan. Ensimmäisen maaottelumaalinsa hän teki syyskuussa 2019 viidennessä maaottelussaan, ja tälläkin kertaa vastustajana oli EM-karsintaottelussa Slovakia. Hän on huhtikuun 2024 loppuun mennessä pelannut 40 maaottelua ja tehnyt niissä 12 maalia, Slovakian lisäksi Turkkia, Islantia, Englantia, Bulgariaa, Liettuaa, uudelleen Turkkia ja Kosovoa vastaan sekä kaksi maalia San Marinoa vastaan marraskuussa 2021 ja Montenegroa vastaan marraskuussa 2023.Hän on pelannut A-maaotteluissaan 38 kertaa avauskokoonpanossa.[1]