Algebrallinen geometria

Algebrallinen geometria on matematiikan osa-alue, joka tutkii geometriaa abstraktin algebran avulla. Algebrallisen geometrian voidaan ajatella olevan algebrallisten yhtälöryhmien ratkaisujoukon tutkimista. Kun yhtälöissä on useampi kuin yksi tuntematon, yhtälön geometrinen luonne helpottaa usein ilmiön ymmärtämistä. Voidaan sanoa, että algebrallinen geometria alkaa siitä, kun yhtälön ratkaisu jää sivuseikaksi ja ratkaisujen muodostama joukko on yhtä tärkeä kuin yhden yksittäisen ratkaisun tunteminen. Tämä johtaa siihen, että aloitteleva algebrallisen geometrian opiskelija kohtaa monia uusia tekniikoita käsitellä yhtälöitä alkaessaan opiskella algebrallista geometriaa.

Polynomien yhteiset nollakohdat

Klassisessa algebrallisessa geometriassa päämielenkiinto kohdistuu polynomien yhteisten nollakohtien tutkimiseen. Esimerkiksi jos taso leikkaa palloa, tuloksena syntyy ympyrä.

Affiinit varistot

Olkoon annettu kunta k. Klassisessa algebrallisessa geometriassa kunnaksi oletetaan C, kompleksiluvut, mutta monet tulokset ovat voimassa pelkästään olettamalla että k on algebrallisesti suljettu. Määritellään ${\displaystyle {\mathbb {A} }_{k}^{n}}$, affiini n-avaruus kunnassa k, olemaan kⁿ. Tämän merkintätavan tarkoituksena on unohtaa että kⁿ on vektoriavaruus. Siten ${\displaystyle {\mathbb {A} }_{k}^{n}}$ on, ainakin hetken aikaa, pelkästään kokoelma pisteitä. Siten voidaan pudottaa k ${\displaystyle {\mathbb {A} }_{k}^{n}}$:sta ja kirjoittaa pelkästään ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$.

Sanotaan että funktio

${\displaystyle f:{\mathbb {A} }^{n}\to {\mathbb {A} }^{1}}$

on säännöllinen, jos se voidaan kirjoittaa polynomiksi. Tämä tarkoittaa sitä, että on olemassa polynomi p joukossa

k[x₁,...,x_n]

siten että jokaiselle pisteelle

(t₁,...,t_n) ${\displaystyle \in {\mathbb {A} }^{n}}$

on voimassa

f(t₁,...,t_n) = p(t₁,...,t_n).

Säännölliset funktiot affiinissa n-avaruudessa on siten täsmälleen samat kuin n:n muuttujan polynomit k:ssa. Merkitään kaikkien säännöllisien funktioiden joukkoa ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$:ssä ${\displaystyle k[{\mathbb {A} }^{n}]}$.

Sanomme polynomin häviävän tietyssä pisteessä, jos tässä pisteessä on funktion arvo nolla. Olkoon S joukko polynomeja ${\displaystyle k[{\mathbb {A} }^{n}]}$:ssä. Joukon S häviämisjoukko, V(S), muodostuu niistä pisteistä ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$:ssä, joissa jokainen S:n polynomi häviää. Toisin sanoen

V(S) = {(t₁,...,t_n) | kaikilla ${\displaystyle p\in S}$, p(t₁,...,t_n) = 0}.

Osajoukko ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$ joka on V(S) jollakin S, on nimeltään algebrallinen joukko. V tulee nimestä varisto (tietyn tyyppinen algebrallinen joukko).

Jos on annettu joukon ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$ osajoukko V siten että V on varisto, voidaan aina määrittää polynomijoukko joka virittää V:n. Jos V on mikä tahansa ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$:n osajoukko, määritellään I(V) olemaan se joukko jossa häviävien polynomien joukko sisältää V:n. I tulee sanasta ideaali: Jos polynomit f ja g molemmat häviävät V:ssä, tällöin myös f+g häviää V:ssä ja jos h on mikä tahansa polynomi, tällöin myös hf häviää V:ssä, joten I(V) on aina ${\displaystyle k[{\mathbb {A} }^{n}]}$:n ideaali.

Nyt herää kaksi tärkeää kysymystä: On annettu joukon ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$ osajoukko V. Milloin on

V = V(I(V))?

On annettu joukko S polynomeja, milloin on

S = I(V(S))?

Vastaus ensimmäiseen kysymykseen saadaan Zariskin topologian avulla, topologia ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$:ssa joka kertoo suoraan ${\displaystyle k[{\mathbb {A} }^{n}]}$:n algebrallisen rakenteen. Tällöin V = V(I(V)) jos ja vain jos V on Zariski-suljettu joukko. Toiseen kysymykseen vastauksen antaa Hilbertin Nullstellensatz. Lauseen erään muodon mukaan I(V(S)) on S:stä viritetyn ideaalin alkuradikaali. Toisin sanoen on olemassa Galois yhteys, joka yhdistää kaksi sulkeumaoperaattoria. Nämä voidaan samaistaa ja ovat luonnollisesti teorian keskeinen käsite. Erilaisista syistä johtuen emme aina halua tutkia annetun algebrallisen joukon V koko ideaalia. Hilbertin kantalauseesta seuraa, että ${\displaystyle k[{\mathbb {A} }^{n}]}$:n ideaalit ovat aina äärellisesti viritettyjä.

Algebrallisen joukon sanotaan olevan jaoton, jos sitä ei voida kirjoittaa kahden pienemmän algebrallisen joukon yhdisteeksi. Jaotonta algebrallista joukkoa kutsutaan myös varistoksi. Osoittautuu, että algebrallinen joukko on varisto jos ja vain jos joukon polynomit virittävät polynomirenkaan alkuideaalin.

Säännölliset funktiot

Kuten jatkuvat funktiot ovat topologiassa usein käytettyjä kuvauksia topologisten avaruuksien välillä ja sileät funktiot ovat vastaavasti kuvauksia differentioituvien monistojen välillä, on olemassa myös algebrallisten joukkojen välillä funktioita, säännöllisiä funktioita. Algebrallisen joukon ${\displaystyle V\subset {\mathbb {A} }^{n}}$ säännöllinen funktio määritellään joukon ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$ rajoittumaksi V:hen. Voi näyttää epäluonnolliselta rajoitukselta vaatia säännöllinen funktion määrittelyjoukoksi myös alkuperäisen funktion määrittelyjoukkoa laajempi avaruus, mutta tilanne on analoginen normaalien topologisten avaruuksien kohdalla, missä Tietzen jatkolause takaa että suljetun joukon jatkuva funktio voidaan aina jatkaa jatkuvaksi funktioksi ympäröivään avaruuteen.

Kuten säännöllisen funktio affiinissa avaruudessa, säännölliset funktiot V:ssä muodostavat renkaan, jota merkitään k[V]. Tämä rengas on nimeltään V:n koordinaattirengas.

Koska V:n säännölliset funktiot saadaan ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$:n säännöllisistä funktioista, niillä on yhteys niiden koordinaattirenkaaseen. Erityisesti, saadakseen funktion k[V]:ssä otamme funktion ${\displaystyle k[{\mathbb {A} }^{n}]}$:sta ja sanomme että kaksi funktiota ovat samat jos ne ovat samat V:ssä. Tämä tarkoittaa että funktioiden erotus häviää V:ssä. Tästä nähdään, että k[V] on tekijäjoukko ${\displaystyle k[{\mathbb {A} }^{n}]/I(V)}$.

Affiinien varistojen kategoria

Käyttämällä säännöllisiä funktioita affiinilta varistolta ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{1}}$:lle, voidaan määritellä säännöllisiä funktioita affiinilta varistolta toiselle. Määritellään ensiksi säännöllinen funktio varistolta affiiniin avaruuteen: Olkoon V varisto ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$:ssa. Valitaan m säännöllistä funktiota V:stä ja nimetään ne f₁,...,f_m. Määritellään säännöllinen funktio f V:ltä ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{m}}$:ään asettamalla f(t₁,...,t_n)=(f₁,...,f_m). Toisin sanoen, jokainen f_i määrää yhden koordinaatin f:n maalissa.

Jos V' on varisto joka sisältyy ${\displaystyle {\mathbb {A} }^{m}}$:han, sanomme että f on säännöllinen funktio V:ltä V':uun, jos f:n maalijoukko sisältyy V':uun.

Tämän ominaisuuden perusteella kaikki affiinit varistot muodostavat kategorian, missä objektit ovat affiineja varistoja ja morfismit säännöllisiä kuvauksia. Seuraava lause karakterisoi affiinien varistojen kategorian:

Affiinien varistojen kategoria on duaalinen kategoria äärellisesti viritettyjen redusoitujen k-algebrojen ja niiden homomorfismien kategorialle.

Projektiivinen avaruus

Tarkastellaan varistoa V(y=x²). Sen kuvaaja on paraabeli. Kun x kasvaa, suoran, joka kulkee origon ja pisteen (x,x²) kautta, kulmakerroin kasvaa. Kun x vähenee, saman suoran kulmakerron pienenee ja pienenee.

Verrataan tätä varistoon V(y=x³). Tämä on kolmannen asteen yhtälö. Kun x kasvaa, origon ja pisteen (x,x³) kautta kulkevan suoran kulmakerroin kasvaa rajatta kuten ennenkin. Mutta toisin kuin ennen, kun x pienenee rajatta, kulmakerroin kasvaa edelleen rajatta. Siten varistojen V(y=x²) ja V(y=x³) käyttäytyminen äärettömyydessä on erilaista. Affiinissa avaruudessa on kuitenkin vaikeaa määritellä käsite "äärettömyydessä".

Ratkaistakseen ongelman on työskenneltävä niin sanotussa projektiivisessa avaruudessa. Projektiivisen avaruuden ominaisuudet ovat samat kuin kompaktin Hausdorffin avaruuden. Projektiivinen avaruus saadaan siis lisäämällä avaruuteen äärettömyyspisteitä ja määrittelemällä äärettömille topologiset ympäristöt. Tätä kutsutaan prosessia topologiassa nimellä Aleksandrovin kompaktisointi. Varistojen käyttäytyminen äärettömyydessä antaa lisätietoa varistoista. Osoittautuu, että V(y=x³):lla on singulariteetti yhdessä lisätyssä pisteessä, mutta V(y=x²) on sileä varisto.

Vaikka projektiivinen geometria löydettiin alun perin synteettisen geometrian kautta, homogeeninen koordinaatisto mahdollisti algebrallisten tekniikoiden käytön algebrallisen geometrian tutkimisessa. Edelleen projektiivisten tekniikoiden käyttö yksinkertaisti ja tiukensi monia algebrallisen geometrian tuloksia. Esimerkiksi tunnettu Bezout'n lause kahden variston leikkauspisteiden lukumäärästä voidaan esittää tiukimmassa muodossaan ainoastaan projektiivisessa avaruudessa. Tämän takia projektiivinen avaruus näyttelee keskeistä roolia algebrallisessa geometriassa.

Kirjallisuutta

• Kahanpää, Lauri; Smith, Karen E.; Kekäläinen, Pekka: Johdattelua algebralliseen geometriaan. Helsinki: Otatieto, 2000. ISBN 951-672-291-1