قضیه فیروزبخت

تابع شکاف اولیه

حدس فیروزبخت نام حدسی است در ریاضی در قسمت نظریه اعداد و توزیع اعداد اول که توسط فریده فیروزبخت استاد دانشگاه اصفهان در سال ۱۹۸۲ مطرح شده است.^[۱][۲]

حدسیه

حدس بیان می کند که ${\displaystyle p_{n}^{1/n}}$ یک تابع کاملاً کاهشی از n است، یعنی:

${\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}}$ برای هر n≥۱

همچنین:

${\displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}}$ برای هر n≥۱

(مراجعه شود به:  A182134,  A246782)

فریده فیروزبخت با استفاده از جدول شکاف اعداد اول حدس خود را تا ۴٫۴۴۴‎×۱۰^۱۲ تأیید کرد.^[۲] اکنون با جداول گسترده تر از شکاف اعداد اول، این حدس برای همه اعداد اول زیر 2⁶⁴ ≈ ۷۰۱۹۱۸۴۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۱٫۸۴×۱۰^۱۹ تأیید شده است.^[۳][۴]

اگر این حدسیه درست باشد آنگاه حدس کرامر نیز درست خواهد بود:^[۵]

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}\qquad {\text{ for all }}n>4.}$

علاوه بر این:^[۶]

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1\qquad {\text{ for all }}n>9,}$

(مراجعه شود به:  A111943)

این یکی از قوی ترین کرانه های بالایی است که برای شکاف های اعداد اول حدس زده شده است، حتی تا حدودی قوی تر از حدس های کرامر و شانکس.^[۴] این دلالت بر شکلی قوی از حدس کرامر دارد و از این رو با اکتشافات اندرو گرانویل، پینتز و مایر سازگار نیست که نشان می دهد که^{[۷][۸][۹][۱۰][۱۱]} ${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}\approx 1.1229(\log p_{n})^{2}}$ به طور بی نهایت اغلب برای هر ${\displaystyle \varepsilon >0}$ رخ می دهد، جایی که ${\displaystyle \gamma }$ نشان دهنده ثابت اویلر–ماسکرونی است. دو حدس مرتبط دیگر ${\displaystyle \left({\frac {\log(p_{n+1})}{\log(p_{n})}}\right)^{n}<e}$ و ${\displaystyle \left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log(n)\qquad {\text{ for all }}n>5}$ هستند، که اولی که ضعیف تر و دومی قوی تر است.

(مراجعه شود به:  A182514)

مطالعه بیشتر

• قضیه اعداد اول
• حدس لژاندر
• حدس کرامر

منابع

1. Ribenboim, Paulo (2004). The Little Book of Bigger Primes Second Edition. Springer-Verlag. p. 185. ISBN 9780387201696.
2. Rivera, Carlos. "Conjecture 30. The Firoozbakht Conjecture". Retrieved 22 August 2012.
3. Gaps between consecutive primes
4. Kourbatov, Alexei. "Prime Gaps: Firoozbakht Conjecture".
5. Sinha, Nilotpal Kanti (2010). "On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture". arXiv:1010.1399 [math.NT]..
6. Kourbatov, Alexei (2015), "Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht's conjecture", Journal of Integer Sequences, 18 (Article 15.11.2), arXiv:1506.03042, MR 3436186, Zbl 1390.11105.
7. Granville, A. (1995), "Harald Cramér and the distribution of prime numbers" (PDF), Scandinavian Actuarial Journal, 1: 12–28, doi:10.1080/03461238.1995.10413946, MR 1349149, Zbl 0833.01018, archived from the original (PDF) on 2016-05-02.
8. Granville, Andrew (1995), "Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers" (PDF), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1: 388–399, doi:10.1007/978-3-0348-9078-6_32, ISBN 978-3-0348-9897-3, Zbl 0843.11043.
9. Pintz, János (2007), "Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes", Funct. Approx. Comment. Math., 37 (2): 232–471, doi:10.7169/facm/1229619660, MR 2363833, S2CID 120236707, Zbl 1226.11096
10. Leonard Adleman and Kevin McCurley, "Open Problems in Number Theoretic Complexity, II^{[پیوند مرده]}" (PS), Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), Lecture Notes in Comput. Sci. 877: 291–322, Springer, Berlin, 1994. doi:10.1007/3-540-58691-1_70. شابک ‎۹۷۸−۳−۵۴۰−۵۸۶۹۱−۳.
11. Maier, Helmut (1985), "Primes in short intervals", The Michigan Mathematical Journal, 32 (2): 221–225, doi:10.1307/mmj/1029003189, ISSN 0026-2285, MR 0783576, Zbl 0569.10023

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Firoozbakht’s conjecture». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

[1]: Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, page, ۸۵