تابع مقعر

یک تابع کاو

تابع کاو^[۱] یا تابع مقعّر تابعی است که اگر دو نقطهٔ دلخواه ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ از این تابع را در نظر بگیریم، خط ${\displaystyle AB}$ همواره زیر تابع یا همسطح آن قرار بگیرد. به بیان ریاضی:

${\displaystyle f[\alpha x_{1}+(1-\alpha )x_{2}]\geq \alpha f(x_{1})+(1-\alpha )f(x_{2})}$

اگر در این نابرابری، علامت ≤ را با علامت <جایگزین کنیم، تعریف تابع اکیداً کاو به دست می‌آید. با توجه به تعریف هر خط راستی هم نمایانگر یک تابع کوژ و هم نمایانگر یک تابع کاو است.

ویژگی‌ها

برخی از ویژگی‌های تابع کاو از این قرارند:^[۲]

• مشتق دوم یک تابع کاو کوچکتر از صفر است.
• بیشینهٔ موضعی یک تابع کاو، بیشینهٔ فراموضعی آن نیز هست.
• تابع مجموع یک تابع (اکیداً) کاو، (اکیداً) کاو است.
• اگر ${\displaystyle f(x)}$‎ یک تابع کاو باشد،‎${\displaystyle -f(x)}$‎ یک تابع کوژ خواهد بود.
• به طور کلی اگر f(x)‎ یک تابع کاو و ${\displaystyle \alpha }$ یک مقدار ثابت باشد، در صورت مثبت بودن آلفا، ${\displaystyle \alpha f(x)}$ یک تابع کاو خواهد بود و در صورتی که ${\displaystyle \alpha }$ کوچکتر از صفر باشد ‎${\displaystyle \alpha f(x)}$‎ یک تابع کوژ خواهد بود.

جستارهای وابسته

• چندضلعی‌های کوژ و کاو
• مجموعه محدب
• نابرابری ینسن
• تابع کوژ

منابع

1. «از اصطلاحات مورد استفادهٔ پژوهشکدهٔ آمار». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ فوریه ۲۰۱۴. دریافت‌شده در ۲۱ اکتبر ۲۰۱۴.
2. Majumdar and Mujumdar, Water Resources Systems, 11.

• Majumdar, V.; Mujumdar, S.V.P.P. (2005). Water Resources Systems. Civil engineering series (به انگلیسی). Tata McGraw-Hill. Retrieved 2014-10-21.