در حسابان بردارها گرادیان (به فرانسوی : Gradient شیو [ ۱] میدان نرده‌ای ، میدانی برداری است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.
به تعبیر دیگر برداری که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضائی تغییر یک کمیت عددی را نمایش می‌دهد، گرادیان آن کمیت عددی تعریف می‌کنیم.
∇ ∇ -->
f
=
(
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
1
,
… … -->
,
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
n
)
{\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}
در حالت خاص برای اسکالر
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:
grad
f
=
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
i
+
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
y
j
+
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
k
=
∇ ∇ -->
f
{\displaystyle {\mbox{grad}}\,f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k} =\nabla f}
∇ ∇ -->
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \nabla \phi }
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \phi }
ϕ ϕ -->
=
c
t
e
{\displaystyle \phi =cte}
در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:
∇ ∇ -->
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
,
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
y
,
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
)
{\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
و در دستگاه مختصات استوانه‌ای :
∇ ∇ -->
f
(
ρ ρ -->
,
θ θ -->
,
z
)
=
(
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
ρ ρ -->
,
1
ρ ρ -->
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
θ θ -->
,
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
)
{\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:
∇ ∇ -->
f
(
r
,
θ θ -->
,
ϕ ϕ -->
)
=
(
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
r
,
1
r
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
θ θ -->
,
1
r
sin
-->
θ θ -->
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
ϕ ϕ -->
)
{\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}}
اگر
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
g
{\displaystyle fg}
∇ ∇ -->
(
f
g
)
=
f
∇ ∇ -->
g
+
g
∇ ∇ -->
f
{\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}
و اگر
u
→ → -->
{\displaystyle {\vec {u}}}
v
→ → -->
{\displaystyle {\vec {v}}}
u
→ → -->
⋅ ⋅ -->
v
→ → -->
{\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}
∇ ∇ -->
(
u
→ → -->
⋅ ⋅ -->
v
→ → -->
)
=
(
u
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
)
v
→ → -->
+
(
v
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
)
u
→ → -->
+
u
→ → -->
× × -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
v
→ → -->
)
+
v
→ → -->
× × -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
u
→ → -->
)
{\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})}
به عنوان مثال :
گرادیان
f
(
x
,
y
,
z
)
=
2
x
+
3
y
2
− − -->
sin
-->
(
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}
∇ ∇ -->
f
=
(
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
,
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
y
,
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
)
=
(
2
,
6
y
,
− − -->
cos
-->
(
z
)
)
{\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}}
جورج براون آرفکن، روشهای ریاضی در فیزیک ، ترجمهٔ اعظم پورقاضی، مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲
Optimization computes maxima and minima.
