اثر (جبر خطی)

در جبر خطی اثر (رد یا تریس (به انگلیسی: Trace)) یک ماتریس مربعی nدرn برابر است با حاصل‌جمع درایه‌های قطر اصلی آن یا به عبارت دیگر:

${\displaystyle \mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,}$

که a_ii درایه واقع بر سطر iم و ستون iم ماتریس A است. به بیان دیگر اثر یک ماتریس برابر مجموع ویژه‌مقادیر آن است. قابل ذکر است که اثر فقط برای ماتریس مربعی تعریف می‌شود.

قضیه کیلی-همیلتون نیز بیان می‌دارد که هر ماتریس در معادله سرشتنمایی خود صدق می‌کند.

مثال

اگر ماتریس T یک ماتریس مربعی باشد

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}.}$

آنگاه tr(T) = −۲ + ۱ − ۱ = −۲.

ویژگی‌ها

ویژگی‌های بنیادی

اثر یک عملگر خطی است:

${\displaystyle \mathrm {tr} (A+B)=\mathrm {tr} (A)+\mathrm {tr} (B),}$

${\displaystyle \mathrm {tr} (cA)=c\cdot \mathrm {tr} (A).}$

برای هر ماتریس مربعی A و B و هر کمیت نرده‌ای c.

یک ماتریس و ترانهاده آن یک اثر دارند:

${\displaystyle \mathrm {tr} (A)=\mathrm {tr} (A^{T})}$.

اثر حاصلضرب

اگر A یک ماتریس m×n و B یک ماتریس n×mباشد آنگاه:

${\displaystyle \mathrm {tr} (AB)=\mathrm {tr} (BA).}$^[۱]

ویژگی‌های دیگر

اگر A یک ماتریس متقارن و B یک ماتریس پادمتقارن باشد

${\displaystyle \mathrm {tr} (AB)=0}$.

منابع

1. This is immediate from the definition of matrix multiplication.

   ${\displaystyle \mathrm {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\mathrm {tr} (BA).}$

• ویکی‌پدیای انگلیسی